ベクトルA、B、Cに対して、内積の分配法則 $A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C$ を証明します。ここで、$A = (A_x, A_y, A_z)$, $B = (B_x, B_y, B_z)$ です。Cの成分を $C = (C_x, C_y, C_z)$ とします。

1. 問題の内容

ベクトルA、B、Cに対して、内積の分配法則 $A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C$ を証明します。ここで、$A = (A_x, A_y, A_z)$, $B = (B_x, B_y, B_z)$ です。Cの成分を $C = (C_x, C_y, C_z)$ とします。

2. 解き方の手順

まず、左辺 $A \cdot (B + C)$ を計算します。

$B + C = (B_x + C_x, B_y + C_y, B_z + C_z)$

したがって、

$A \cdot (B + C) = A_x(B_x + C_x) + A_y(B_y + C_y) + A_z(B_z + C_z)$

次に、右辺 $A \cdot B + A \cdot C$ を計算します。

$A \cdot B = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z$

$A \cdot C = A_xC_x + A_yC_y + A_zC_z$

したがって、

$A \cdot B + A \cdot C = (A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z) + (A_xC_x + A_yC_y + A_zC_z) = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z + A_xC_x + A_yC_y + A_zC_z$

$A \cdot (B + C)$ の結果と $A \cdot B + A \cdot C$ の結果を比較します。

$A \cdot (B + C) = A_x(B_x + C_x) + A_y(B_y + C_y) + A_z(B_z + C_z) = A_xB_x + A_xC_x + A_yB_y + A_yC_y + A_zB_z + A_zC_z$

$A \cdot B + A \cdot C = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z + A_xC_x + A_yC_y + A_zC_z = A_xB_x + A_xC_x + A_yB_y + A_yC_y + A_zB_z + A_zC_z$

左辺と右辺の結果が一致するため、内積の分配法則が成立します。

3. 最終的な答え

$A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C$ が証明されました。