問題は、$a + \frac{1}{a} = 4$ のとき、$a^2 + \frac{1}{a^2}$ と $a^3 + \frac{1}{a^3}$ の値を求める問題です。それぞれ、答えをウとエに代入します。

1. 問題の内容

問題は、$a + \frac{1}{a} = 4$ のとき、$a^2 + \frac{1}{a^2}$ と $a^3 + \frac{1}{a^3}$ の値を求める問題です。それぞれ、答えをウとエに代入します。

2. 解き方の手順

まず、$a + \frac{1}{a} = 4$ の両辺を2乗します。

$(a + \frac{1}{a})^2 = 4^2$

$a^2 + 2(a)(\frac{1}{a}) + \frac{1}{a^2} = 16$

$a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} = 16$

$a^2 + \frac{1}{a^2} = 16 - 2 = 14$

したがって、$a^2 + \frac{1}{a^2} = 14$ なので、ウは 14。

次に、$a + \frac{1}{a} = 4$ の両辺を3乗します。

$(a + \frac{1}{a})^3 = 4^3$

$a^3 + 3(a^2)(\frac{1}{a}) + 3(a)(\frac{1}{a^2}) + \frac{1}{a^3} = 64$

$a^3 + 3a + \frac{3}{a} + \frac{1}{a^3} = 64$

$a^3 + \frac{1}{a^3} + 3(a + \frac{1}{a}) = 64$

$a^3 + \frac{1}{a^3} + 3(4) = 64$

$a^3 + \frac{1}{a^3} = 64 - 12 = 52$

したがって、$a^3 + \frac{1}{a^3} = 52$ なので、エは 52。

3. 最終的な答え

ウ: 14

エ: 52