与えられた式 $x^2 - 9y^2 - 2x + 6y$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 - 9y^2 - 2x + 6y$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、$x$の項と$y$の項をそれぞれまとめて、平方完成の形に近づけます。

$x^2 - 2x$の部分と$-9y^2 + 6y$の部分を分けます。

$x^2 - 2x$を平方完成すると、

$x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1$

となります。

$-9y^2 + 6y$は、まず-9でくくって、

$-9y^2 + 6y = -9(y^2 - \frac{2}{3}y)$

$y^2 - \frac{2}{3}y$を平方完成すると、

$y^2 - \frac{2}{3}y = (y - \frac{1}{3})^2 - \frac{1}{9}$

となります。

したがって、

$-9y^2 + 6y = -9((y - \frac{1}{3})^2 - \frac{1}{9}) = -9(y - \frac{1}{3})^2 + 1$

となります。

これらの結果を元の式に代入すると、

$x^2 - 9y^2 - 2x + 6y = (x - 1)^2 - 1 - 9(y - \frac{1}{3})^2 + 1$

$= (x - 1)^2 - 9(y - \frac{1}{3})^2$

$= (x - 1)^2 - (3(y - \frac{1}{3}))^2$

$= (x - 1)^2 - (3y - 1)^2$

これは、$A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$の形なので、

$(x - 1)^2 - (3y - 1)^2 = ((x - 1) + (3y - 1))((x - 1) - (3y - 1))$

$= (x - 1 + 3y - 1)(x - 1 - 3y + 1)$

$= (x + 3y - 2)(x - 3y)$

3. 最終的な答え

$(x + 3y - 2)(x - 3y)$