連立不等式 $x - y \le 4$, $2x + y \le 2$, $(x-2)^2 + (y-3)^2 \le 25$ の表す領域をDとする。点$(x, y)$ が領域Dを動くとき、$x + 2y$ の最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

連立不等式

$x - y \le 4$,

$2x + y \le 2$,

$(x-2)^2 + (y-3)^2 \le 25$

の表す領域をDとする。点$(x, y)$ が領域Dを動くとき、$x + 2y$ の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、連立不等式の表す領域Dを図示します。

$x - y \le 4$ は、$y \ge x - 4$ なので、直線 $y = x - 4$ の上側の領域です。

$2x + y \le 2$ は、$y \le -2x + 2$ なので、直線 $y = -2x + 2$ の下側の領域です。

$(x-2)^2 + (y-3)^2 \le 25$ は、中心 $(2, 3)$, 半径 $5$ の円の内部です。

これらの3つの不等式をすべて満たす領域がDです。

次に、$k = x + 2y$ とおき、$y = -\frac{1}{2}x + \frac{k}{2}$ と変形します。

これは傾き $-\frac{1}{2}$、y切片 $\frac{k}{2}$ の直線を表します。

この直線が領域Dと共有点を持つような $k$ の最大値と最小値を求めます。

図から、$k$ が最大になるのは、直線 $y = -\frac{1}{2}x + \frac{k}{2}$ が円 $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 25$ と接するときです。

円の中心$(2,3)$と直線 $x+2y-k=0$ の距離が半径$5$に等しいので、

$\frac{|2+2(3)-k|}{\sqrt{1^2+2^2}} = 5$

$\frac{|8-k|}{\sqrt{5}} = 5$

$|8-k| = 5\sqrt{5}$

$8-k = \pm 5\sqrt{5}$

$k = 8 \pm 5\sqrt{5}$

最大値は $k = 8 + 5\sqrt{5}$ です。

ただし、この接点が領域Dに含まれる必要があります。

円と直線の交点を求め、$x-y=4$と$2x+y=2$との交点が領域Dの頂点である。

次に、$k$ が最小になるのは、直線 $y = -\frac{1}{2}x + \frac{k}{2}$ が2直線 $x-y=4$と$2x+y=2$ の交点を通るときです。

連立方程式

$x - y = 4$

$2x + y = 2$

を解くと、

$3x = 6$

$x = 2$

$y = -2$

この点は、円 $(x-2)^2 + (y-3)^2 = (2-2)^2 + (-2-3)^2 = 0 + 25 = 25$ 上にあるので、領域Dに含まれます。

したがって、$k = x + 2y = 2 + 2(-2) = 2 - 4 = -2$ が最小値です。

3. 最終的な答え

最大値：$8 + 5\sqrt{5}$

最小値：$-2$