与えられた2つの式を因数分解する。 (1) $x^2 + xy - 4x - y + 3$ (2) $x^2 + 3ax - 9a - 9$

1. 問題の内容

与えられた2つの式を因数分解する。

(1) $x^2 + xy - 4x - y + 3$

(2) $x^2 + 3ax - 9a - 9$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + xy - 4x - y + 3$ を因数分解する。

まず、$x$ について整理する。

$x^2 + (y-4)x - (y - 3)$

たすき掛けで因数分解できるか考える。

$(x + 1)(x + (y - 3)) = x^2 + (y-3)x + x + y - 3 = x^2 + (y-2)x + y-3$

$(x - 1)(x + (y - 3)) = x^2 + (y-3)x -x - y + 3 = x^2 + (y-4)x - y + 3$

したがって、

$x^2 + xy - 4x - y + 3 = (x - 1)(x + y - 3)$

(2) $x^2 + 3ax - 9a - 9$ を因数分解する。

$x^2 + 3ax - 9(a + 1)$

これは $x$ の二次式なので、解の公式を使うか、平方完成を試みる。

しかし、因数分解できる形にするのが難しい。

もう一度、式を見直すと、$3a$ と $-9a$ に注目して、

$x^2 - 9 + 3ax - 9a = (x^2 - 9) + 3a(x - 3)$

$= (x - 3)(x + 3) + 3a(x - 3)$

$= (x - 3)(x + 3 + 3a)$

$= (x - 3)(x + 3a + 3)$

3. 最終的な答え

(1) $(x - 1)(x + y - 3)$

(2) $(x - 3)(x + 3a + 3)$