$x, y, z$ についての2つの条件式 $x-2y+z = 4$ と $2x+y-3z = -7$ が与えられている。このとき、$ax^2 + 2by^2 + 3cz^2 = 18$ が成り立つような定数 $a, b, c$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x, y, z$ についての2つの条件式 $x-2y+z = 4$ と $2x+y-3z = -7$ が与えられている。このとき、$ax^2 + 2by^2 + 3cz^2 = 18$ が成り立つような定数 $a, b, c$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2つの条件式から $x$ と $z$ を $y$ で表すことを試みる。

1つ目の式から、$x = 2y - z + 4$ が得られる。

これを2つ目の式に代入すると、

$2(2y - z + 4) + y - 3z = -7$

$4y - 2z + 8 + y - 3z = -7$

$5y - 5z = -15$

$y - z = -3$

したがって、$z = y + 3$ が得られる。

次に、$x$ を $y$ で表す。

$x = 2y - z + 4 = 2y - (y+3) + 4 = 2y - y - 3 + 4 = y + 1$

したがって、$x = y + 1$ が得られる。

得られた $x = y + 1$ と $z = y + 3$ を $ax^2 + 2by^2 + 3cz^2 = 18$ に代入すると、

$a(y+1)^2 + 2by^2 + 3c(y+3)^2 = 18$

$a(y^2 + 2y + 1) + 2by^2 + 3c(y^2 + 6y + 9) = 18$

$ay^2 + 2ay + a + 2by^2 + 3cy^2 + 18cy + 27c = 18$

$(a+2b+3c)y^2 + (2a+18c)y + (a+27c) = 18$

この式が任意の $y$ について成り立つためには、$y^2$ と $y$ の係数が0でなければならない。したがって、

$a + 2b + 3c = 0$

$2a + 18c = 0$

$a + 27c = 18$

2番目の式から、$a = -9c$ が得られる。

これを3番目の式に代入すると、

$-9c + 27c = 18$

$18c = 18$

$c = 1$

したがって、$a = -9(1) = -9$

$a = -9$ と $c = 1$ を1番目の式に代入すると、

$-9 + 2b + 3(1) = 0$

$2b - 6 = 0$

$2b = 6$

$b = 3$

したがって、$a = -9, b = 3, c = 1$

3. 最終的な答え

$a = -9, b = 3, c = 1$