2次方程式 $x^2 + (2a-1)x + a^2 - 3a - 4 = 0$ が少なくとも1つ正の解を持つような実数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + (2a-1)x + a^2 - 3a - 4 = 0$ が少なくとも1つ正の解を持つような実数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた2次方程式を $f(x) = x^2 + (2a-1)x + a^2 - 3a - 4 = 0$ とします。

少なくとも1つの正の解を持つ条件は、次の3つの場合に分けられます。

(i) 2つの正の解を持つ場合

(ii) 1つの正の解と1つの負の解を持つ場合

(iii) 正の解と0を持つ場合

(i) 2つの正の解を持つ場合

判別式 $D \ge 0$、軸 $> 0$、$f(0) > 0$ が必要です。

判別式 $D = (2a-1)^2 - 4(a^2 - 3a - 4) = 4a^2 - 4a + 1 - 4a^2 + 12a + 16 = 8a + 17 \ge 0$

よって $a \ge -\frac{17}{8}$

軸は $x = -\frac{2a-1}{2} > 0$ より $2a-1 < 0$ なので $a < \frac{1}{2}$

$f(0) = a^2 - 3a - 4 > 0$ より $(a-4)(a+1) > 0$ なので $a < -1$ または $a > 4$

したがって、$-\frac{17}{8} \le a < -1$

(ii) 1つの正の解と1つの負の解を持つ場合

$f(0) < 0$ であればよいので、 $a^2 - 3a - 4 < 0$ より $(a-4)(a+1) < 0$ なので $-1 < a < 4$

(iii) 正の解と0を持つ場合

$f(0) = 0$ であればよいので、$a^2 - 3a - 4 = 0$ より $(a-4)(a+1) = 0$ なので $a = -1, 4$

$a = -1$ のとき、$x^2 - 3x = 0$ より $x(x-3) = 0$ で、$x=0, 3$となり条件を満たす。

$a = 4$ のとき、$x^2 + 7x = 0$ より $x(x+7) = 0$ で、$x=0, -7$となり条件を満たさない。

したがって、$a = -1$

(i), (ii), (iii)を合わせると、$-\frac{17}{8} \le a < -1$, $-1 < a < 4$, $a = -1$ より $-\frac{17}{8} \le a < 4$

3. 最終的な答え

$-\frac{17}{8} \le a < 4$