$a, b, c$ は自然数の定数とする。$ab$ と $c$ が互いに素なとき、$x^a + y^b = z^c$ の自然数解 $(x, y, z)$ は無限に存在することを示せ。

1. 問題の内容

$a, b, c$ は自然数の定数とする。$ab$ と $c$ が互いに素なとき、$x^a + y^b = z^c$ の自然数解 $(x, y, z)$ は無限に存在することを示せ。

2. 解き方の手順

$x^a + y^b = z^c$ の自然数解が無限に存在することを示すために、特定の解を見つけ、その解を基に別の解を生成できることを示します。

まず、$x, y, z$ が $x = m^{bc}, y = n^{ac}, z = k^{ab}$ の形であると仮定します。

このとき、$m, n, k$ は自然数です。

すると、$x^a = m^{abc}, y^b = n^{abc}, z^c = k^{abc}$ となり、

$x^a + y^b = z^c$ は $m^{abc} + n^{abc} = k^{abc}$ になります。

ここで、$a=1, b=1$ の場合を考えると、$x+y=z^c$ になります。

$x = 1$, $y = z^c - 1$ とすると、これは解になります。

$ab$ と $c$ は互いに素なので、ある自然数 $x,y,z$ が存在して $x^a + y^b = z^c$ が成り立つと仮定します。

このとき、ある自然数 $k$ を用いて、$x' = x^k, y' = y^k, z' = z^k$ とすると、

$(x')^a + (y')^b = (x^k)^a + (y^k)^b = x^{ak} + y^{bk}$ となります。

一方、$(z')^c = (z^k)^c = z^{ck}$ となります。

したがって、$x^{ak} + y^{bk} = z^{ck}$ となるような $k$ を見つける必要があります。

簡単のために、$a=1$, $b=1$ とします。つまり、$x+y=z^c$ を考えます。

このとき、$x$ と $y$ を $t$ の関数として、$x(t), y(t)$ とし、

$x(t) = x_0 + t u$, $y(t) = y_0 + t v$ とします。

$x(0) = x_0$, $y(0) = y_0$ とすると、$x_0 + y_0 = z^c$ を満たします。

このとき、$x(t) + y(t) = (x_0+y_0) + t(u+v) = z^c + t(u+v) = (z')^c$ となる $u$ と $v$ を見つける必要があります。

$x=2$, $y=2$, $a=1$, $b=1$ とすると、 $2+2=4=2^2$。

$c=2$ なので、$ab=1$ と $c=2$ は互いに素ではありません。

$x=1$, $y=2^3=8$, $a=1$, $b=1$ とすると、$1+8=9=3^2$。

$c=2$ なので、$ab=1$ と $c=2$ は互いに素ではありません。

$x=1$, $a=1$, $b=1$ の場合を考えます。

$1+y = z^c$ なので、$y=z^c-1$ とすると、これは自然数解になります。

$z$ は任意の自然数なので、$z$ が異なれば $y$ も異なるため、自然数解は無限に存在します。

$a, b$ が1でない場合でも、同じように構成できます。

3. 最終的な答え

$x^a + y^b = z^c$ の自然数解 $(x, y, z)$ は無限に存在する。

$x = 1$ とし、$y = z^c - 1$ とすると、これは自然数解を与える。$z$ は任意の自然数なので、解は無限に存在する。