$x$ の3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ (1) があり、$x=2$ を解に持つ。 (1) $c$ を $a$ と $b$ で表し、方程式(1) を因数分解する。方程式(1) が $x=1+i$ を解に持つときの $a$ と $b$ の値を求める。また、方程式(1) が純虚数を解に持つ条件を求める。 (2) $b = -3a - 6$ とする。方程式(1) が2重解を持つときの $a$ の値を求める。方程式(1) が虚数解を持たない条件を求める。また、ある条件下で方程式(1) が0以下の解を持たない条件を求める。

1. 問題の内容

$x$ の3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ (1) があり、$x=2$ を解に持つ。

(1) $c$ を $a$ と $b$ で表し、方程式(1) を因数分解する。方程式(1) が $x=1+i$ を解に持つときの $a$ と $b$ の値を求める。また、方程式(1) が純虚数を解に持つ条件を求める。

(2) $b = -3a - 6$ とする。方程式(1) が2重解を持つときの $a$ の値を求める。方程式(1) が虚数解を持たない条件を求める。また、ある条件下で方程式(1) が0以下の解を持たない条件を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$x=2$ を方程式(1) に代入すると、

$2^3 + a(2^2) + b(2) + c = 0$

$8 + 4a + 2b + c = 0$

$c = -4a - 2b - 8$

よって、

$x^3 + ax^2 + bx + c = x^3 + ax^2 + bx - 4a - 2b - 8 = 0$

$x=2$ が解なので、$x-2$ で因数分解できる。

$x^3 + ax^2 + bx - 4a - 2b - 8 = (x-2)(x^2 + (a+2)x + 2a+b+4) = 0$

方程式(1) が $x=1+i$ を解に持つとき、$x = 1-i$ も解に持つ。

$x = 1+i, 1-i, 2$ が解である。

$(x - (1+i))(x - (1-i)) = x^2 - 2x + 2$

$x^3 + ax^2 + bx + c = (x-2)(x^2 - 2x + 2) = x^3 - 4x^2 + 6x - 4 = 0$

したがって、$a = -4$, $b = 6$, $c = -4$

方程式(1) が純虚数 $ki$ を解に持つとき、$x = ki$ を方程式(1) に代入すると、

$(ki)^3 + a(ki)^2 + b(ki) + c = -k^3i -ak^2 + bki + c = 0$

$(-ak^2 + c) + (-k^3 + bk)i = 0$

$-ak^2 + c = 0$, $-k^3 + bk = 0$

$c = ak^2$, $k(b-k^2) = 0$

$k \neq 0$ より $b = k^2$

$c = ak^2 = ab$

$c = -4a - 2b - 8 = ab$

$ab + 4a + 2b + 8 = 0$

$(a+2)(b+4) = 0$

$a = -2$ または $b = -4$

$b$ が純虚数解なので、$b > 0$

$a = -2$, $c = ab > 0$ より条件を満たさない。

また $x=2$ を解に持つため、$x=0$ は解ではないので、$c \neq 0$。

$k(b-k^2) = 0$ で、$k=0$ のとき $b=0$。

$b>0$ より、$a=-2$ は不適。

純虚数解を持つためには、$k(b-k^2) = 0$。

$k \neq 0$ であるから、$b=k^2$。

また、$ak^2 = -4a -2b -8$

$ab = -4a-2b-8$

$a = -(2b+8)/(b+4) = -2(b+4)/(b+4) = -2$

$b > 4$の時、虚数解を持つ。

$a=-2, b>0$の時、$c = -4a - 2b - 8 = 8 - 2b - 8 = -2b$

$c = ab = -2b$

(2)

$b = -3a - 6$

$x^3 + ax^2 + (-3a-6)x - 4a - 2(-3a-6) - 8 = 0$

$x^3 + ax^2 + (-3a-6)x + 2a + 4 = 0$

2重解を持つとき、

$(x-2)(x^2+(a+2)x + 2a+b+4)=0$

$(x-2)(x^2+(a+2)x+2a-3a-6+4) = (x-2)(x^2+(a+2)x-a-2) = 0$

$(x-2)(x^2+(a+2)x-(a+2)) = 0$

2重解を持つためには、判別式 $D = (a+2)^2 - 4(-(a+2)) = (a+2)^2 + 4(a+2) = 0$

$(a+2)(a+2+4) = (a+2)(a+6) = 0$

$a = -2$ または $a = -6$

$a = -2$ のとき、$(x-2)(x^2 -0 - 0) = (x-2)x^2 = 0$

$x = 0, 0, 2$ なので、$x=0$ が2重解。

$a = -6$ のとき、$(x-2)(x^2 - 4x + 4) = (x-2)(x-2)^2 = (x-2)^3 = 0$

$x = 2, 2, 2$ なので、$x=2$ が3重解。

したがって、$a = -6$ のとき、2重解を持つ。

虚数解を持たないためには、

$(x-2)(x^2+(a+2)x-(a+2))$ の判別式 $D = (a+2)^2+4(a+2) = (a+2)(a+6) \ge 0$

$a \le -6$ または $a \ge -2$

0以下の解を持たないためには、

3. 最終的な答え

アイ: 4

ウ: 2

エ: 8

オ: 2

カ: 2

キ: 2

ク: 4

ケコ: -4

サ: 6

シス: -2

セ: 4

ソタ: -6

チツ: -6

テト: -2

ナ: ②

ニヌ: -6