問題1: 次の等式を満たす実数 $x, y, z$ の組を求める問題です。ただし、$E$ は $2 \times 2$ の単位行列です。 (1) $\begin{pmatrix} y & z \\ z & x^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z & 2x \\ 2x & |y|+8 \end{pmatrix}$ (2) $\begin{pmatrix} 1 & x+9z^{-1} \\ 9y-3z & x+10y \end{pmatrix} = E$ 問題2: $(m, n)$ 成分 $a_{mn}$ ($m, n = 1, 2, 3, 4$) が与えられた $4 \times 4$ 行列 $A = (a_{mn})$ について以下の問いに答える問題です。 (a) $a_{mn} = \delta_{m+n, 6} + 2\delta_{m, 3}\delta_{n, 3}$ (b) $a_{mn} = \delta_{m, n} + \sin\left( (\delta_{m+n, 2} + \delta_{m, 1}\delta_{n, 1}) \times \frac{7\pi}{2} \right)$ (c) $a_{mn} = \tan\left(\frac{\pi(m-n)}{8}\right)$ (1) (a)～(c) それぞれについて、$4 \times 4$ 行列 $A$ を具体的に書く。 (2) (a)～(c) のうち、$A^T = A$ を満たすものを全て選ぶ。 (3) (a)～(c) のうち、単位行列であるものを全て選ぶ。

1. 問題の内容

問題1: 次の等式を満たす実数 $x, y, z$ の組を求める問題です。ただし、$E$ は $2 \times 2$ の単位行列です。

(1) $\begin{pmatrix} y & z \\ z & x^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z & 2x \\ 2x & |y|+8 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 1 & x+9z^{-1} \\ 9y-3z & x+10y \end{pmatrix} = E$

問題2: $(m, n)$ 成分 $a_{mn}$ ($m, n = 1, 2, 3, 4$) が与えられた $4 \times 4$ 行列 $A = (a_{mn})$ について以下の問いに答える問題です。

(a) $a_{mn} = \delta_{m+n, 6} + 2\delta_{m, 3}\delta_{n, 3}$

(b) $a_{mn} = \delta_{m, n} + \sin\left( (\delta_{m+n, 2} + \delta_{m, 1}\delta_{n, 1}) \times \frac{7\pi}{2} \right)$

(c) $a_{mn} = \tan\left(\frac{\pi(m-n)}{8}\right)$

(1) (a)～(c) それぞれについて、$4 \times 4$ 行列 $A$ を具体的に書く。

(2) (a)～(c) のうち、$A^T = A$ を満たすものを全て選ぶ。

(3) (a)～(c) のうち、単位行列であるものを全て選ぶ。

2. 解き方の手順

問題1:

(1) 行列の等式より、以下の連立方程式を得ます。

$y = z$

$z = 2x$

$x^2 = |y| + 8$

これらを解きます。$y = 2x$ なので、$x^2 = |2x| + 8$ となります。

$x \ge 0$ のとき、$x^2 = 2x + 8$ より、$x^2 - 2x - 8 = 0$ を解くと、$(x-4)(x+2) = 0$ となり、$x = 4$ (または $x=-2$が求まるが、$x \ge 0$ より不適)。したがって、$x = 4$, $y = 8$, $z = 8$。

$x < 0$ のとき、$x^2 = -2x + 8$ より、$x^2 + 2x - 8 = 0$ を解くと、$(x+4)(x-2) = 0$ となり、$x = -4$ (または $x=2$が求まるが、$x < 0$ より不適)。したがって、$x = -4$, $y = -8$, $z = -8$。

(2) $E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ なので、以下の連立方程式を得ます。

$1 = 1$

$x + 9z^{-1} = 0$

$9y - 3z = 0$

$x + 10y = 1$

$9y = 3z$ より、$z = 3y$。$x + 9z^{-1} = x + \frac{9}{3y} = x + \frac{3}{y} = 0$ より、$x = -\frac{3}{y}$。

$x + 10y = 1$ より、$-\frac{3}{y} + 10y = 1$。よって、$10y^2 - y - 3 = 0$。$(5y + 3)(2y - 1) = 0$ より、$y = -\frac{3}{5}$ または $y = \frac{1}{2}$。

$y = -\frac{3}{5}$ のとき、$x = -\frac{3}{-\frac{3}{5}} = 5$, $z = 3(-\frac{3}{5}) = -\frac{9}{5}$。

$y = \frac{1}{2}$ のとき、$x = -\frac{3}{\frac{1}{2}} = -6$, $z = 3(\frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$。

問題2:

(1) 行列 $A$ を具体的に書きます。ここで、$\delta_{i, j}$ はクロネッカーのデルタで、$i = j$ のとき 1、$i \ne j$ のとき 0 となります。

(a) $a_{mn} = \delta_{m+n, 6} + 2\delta_{m, 3}\delta_{n, 3}$

$A = \begin{pmatrix}

0 & 0 & 0 & 1 \\

0 & 0 & 1 & 0 \\

0 & 1 & 2+0 & 0 \\

1 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}

=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

(b) $a_{mn} = \delta_{m, n} + \sin\left( (\delta_{m+n, 2} + \delta_{m, 1}\delta_{n, 1}) \times \frac{7\pi}{2} \right)$

$\sin\left( (\delta_{m+n, 2} + \delta_{m, 1}\delta_{n, 1}) \times \frac{7\pi}{2} \right)$ の部分について。

$\delta_{m+n,2}+\delta_{m,1}\delta_{n,1} = 1$ となるのは、$m+n=2$ または $m=1, n=1$ のときなので、$m=n=1$の場合のみ。

$A = \begin{pmatrix} 1+1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1+0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1+0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1+0 \end{pmatrix}

=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

(c) $a_{mn} = \tan\left(\frac{\pi(m-n)}{8}\right)$

$A = \begin{pmatrix} \tan(0) & \tan(-\frac{\pi}{8}) & \tan(-\frac{2\pi}{8}) & \tan(-\frac{3\pi}{8}) \\ \tan(\frac{\pi}{8}) & \tan(0) & \tan(-\frac{\pi}{8}) & \tan(-\frac{2\pi}{8}) \\ \tan(\frac{2\pi}{8}) & \tan(\frac{\pi}{8}) & \tan(0) & \tan(-\frac{\pi}{8}) \\ \tan(\frac{3\pi}{8}) & \tan(\frac{2\pi}{8}) & \tan(\frac{\pi}{8}) & \tan(0) \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} 0 & \tan(-\frac{\pi}{8}) & -1 & -\tan(\frac{3\pi}{8}) \\ \tan(\frac{\pi}{8}) & 0 & \tan(-\frac{\pi}{8}) & -1 \\ 1 & \tan(\frac{\pi}{8}) & 0 & \tan(-\frac{\pi}{8}) \\ \tan(\frac{3\pi}{8}) & 1 & \tan(\frac{\pi}{8}) & 0 \end{pmatrix}$

(2) $A^T = A$ を満たすのは、(a)の行列です。

(3) 単位行列であるものは、(b) です。

3. 最終的な答え

問題1:

(1) $(x, y, z) = (4, 8, 8), (-4, -8, -8)$

(2) $(x, y, z) = (5, -\frac{3}{5}, -\frac{9}{5}), (-6, \frac{1}{2}, \frac{3}{2})$

問題2:

(1)

(a) $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

(b) $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

(c) $A = \begin{pmatrix} 0 & \tan(-\frac{\pi}{8}) & -1 & -\tan(\frac{3\pi}{8}) \\ \tan(\frac{\pi}{8}) & 0 & \tan(-\frac{\pi}{8}) & -1 \\ 1 & \tan(\frac{\pi}{8}) & 0 & \tan(-\frac{\pi}{8}) \\ \tan(\frac{3\pi}{8}) & 1 & \tan(\frac{\pi}{8}) & 0 \end{pmatrix}$

(2) (a)

(3) (b)