集合 $A = \{1, 3, 3a-2\}$、集合 $B = \{-5, a+2, a^2-2a+1\}$、共通部分 $A \cap B = \{1, 4\}$ が与えられている。定数 $a$ の値と和集合 $A \cup B$ を求める。

1. 問題の内容

集合 $A = \{1, 3, 3a-2\}$、集合 $B = \{-5, a+2, a^2-2a+1\}$、共通部分 $A \cap B = \{1, 4\}$ が与えられている。定数 $a$ の値と和集合 $A \cup B$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$A \cap B = \{1, 4\}$ より、集合 $A$ に 4 が含まれる必要がある。$A = \{1, 3, 3a-2\}$ なので、以下のいずれかが成り立つ。

(i) $3 = 4$

(ii) $3a - 2 = 4$

(i) は明らかに成り立たないので、(ii) が成り立つ必要がある。

$3a - 2 = 4$

$3a = 6$

$a = 2$

次に、$a = 2$ を集合 $B$ に代入して確認する。

$B = \{-5, a+2, a^2-2a+1\} = \{-5, 2+2, 2^2-2(2)+1\} = \{-5, 4, 4-4+1\} = \{-5, 4, 1\}$

確かに、$A \cap B = \{1, 4\}$ となる。

したがって、$a = 2$ である。

このとき、$A = \{1, 3, 3(2)-2\} = \{1, 3, 4\}$、 $B = \{-5, 4, 1\}$。

よって、$A \cup B = \{1, 3, 4, -5\}$。

3. 最終的な答え

$a = 2$

$A \cup B = \{-5, 1, 3, 4\}$