$x+y=3$ かつ $xy=-7$ のとき、以下の2つの値を求めよ。 (1) $(x-1)(y-1)$ (2) $x^2+y^2$

1. 問題の内容

$x+y=3$ かつ $xy=-7$ のとき、以下の2つの値を求めよ。

(1) $(x-1)(y-1)$

(2) $x^2+y^2$

2. 解き方の手順

(1) $(x-1)(y-1)$を展開し、$x+y$と$xy$を使って表す。

$(x-1)(y-1) = xy - x - y + 1 = xy - (x+y) + 1$

与えられた値 $x+y=3$ と $xy=-7$ を代入する。

$(x-1)(y-1) = -7 - 3 + 1 = -9$

(2) $x^2+y^2$ を $(x+y)$ と $xy$ を使って表す。

$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$

与えられた値 $x+y=3$ と $xy=-7$ を代入する。

$x^2 + y^2 = (3)^2 - 2(-7) = 9 + 14 = 23$

3. 最終的な答え

(1) $(x-1)(y-1) = -9$

(2) $x^2+y^2 = 23$