与えられた多項式 $P(x)$ と $Q(x)$ に対して、以下の問いに答えます。 (1) $i^2 = -1$ のとき、$i^3$, $i^4$ を求め、さらに $P(i)$ の値を求めます。 (2) $P(\alpha) = Q(\alpha) = 0$ を満たす複素数 $\alpha$ が存在するかどうかを調べます。 (3) 与えられた多項式 $S(x)$ と $T(x)$ に対して、$S(x) = T(x)(\dots)$ の式を完成させ、$S(\beta) = T(\beta) = 0$ を満たす複素数 $\beta$ が存在するかどうかを調べます。

1. 問題の内容

与えられた多項式 $P(x)$ と $Q(x)$ に対して、以下の問いに答えます。

(1) $i^2 = -1$ のとき、$i^3$, $i^4$ を求め、さらに $P(i)$ の値を求めます。

(2) $P(\alpha) = Q(\alpha) = 0$ を満たす複素数 $\alpha$ が存在するかどうかを調べます。

(3) 与えられた多項式 $S(x)$ と $T(x)$ に対して、$S(x) = T(x)(\dots)$ の式を完成させ、$S(\beta) = T(\beta) = 0$ を満たす複素数 $\beta$ が存在するかどうかを調べます。

2. 解き方の手順

(1)

$i^2 = -1$ より、

$i^3 = i^2 \cdot i = -i$

$i^4 = i^2 \cdot i^2 = (-1)(-1) = 1$

したがって、ア = -1, イ = 1 となります。

次に、$P(i)$ を計算します。

$P(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 12x - 21$

$P(i) = i^4 - 4i^3 + 4i^2 + 12i - 21 = 1 - 4(-i) + 4(-1) + 12i - 21 = 1 + 4i - 4 + 12i - 21 = -24 + 16i$

したがって、ウエオ = -24, カキ = 16 となります。

(2)

$P(x)$ を $Q(x)$ で割った余りを $R(x)$ とすると、

$P(x) = Q(x)(x+2) + R(x)$

$R(x) = x^2 - 3x + 4$

したがって、ク = 3, ケ = 4, コ = 2 となります。

$P(\alpha) = Q(\alpha) = 0$ ならば、$R(\alpha) = 0$ です。

$R(x) = x^2 - 3x + 4 = 0$ を解くと、

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 16}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{-7}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{7}i}{2}$

したがって、シ = 3, ス = 7 となります。

次に、$Q(x)$ を $R(x)$ で割ると、

$Q(x) = (x^2 - 3x + 4)(x-3) + x - 2$

$R(x) = x^2 - 3x + 4$.

$Q(x)$ は $R(x)$ で割り切れるのは誤り。

$Q(x)$を$R(x)$で割ると、

$Q(x) = (x-3)R(x)+(6-x) = (x^2-6x+15x-14)= (x^2-3x+4)(x-3)+x-2$

となる. R(α)=0なので、Q(α)=α-2=0 となるためには α=2 でないといけないが、

$R(2)=4-6+4=2\neq0$ なので、P(α)=Q(α)=0 となる α は存在しない。

よって、ソ = 0

(3)

$S(x) = T(x)(x+0) + x^2 + 3x + 3 - x^2-2x-1 = 0$

$S(x) = (x^2+2x^2+3x+1) = (x+1)$

$S(x)=T(x)x+x^2+2x+3$. タ=2, チ=

3. $T(x) = x^2+2x^2+3x+1 =0 $ となる x は存在するか。

複素数で考えれば、ある。

$x^2 + 2x+3 = 0$ を解くと

$T(\beta) = \beta^2+2\beta^2+3\beta+1 =0$ なので、$\beta=-2$

$S(β) =0$ ならば $S(\beta) = \beta T(0)$

$β = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$

$\beta=-\frac32 \pm \frac{\sqrt5}{2}$

S(x) = T(x) (x+0) + x^2+3x+3

からS(β)=T(β)=0ならばβ^+3β+3=0なので

β = (-3±√9-12)/2 = (-3±√3i)/2

なので2個

3. 最終的な答え

(1) ア = -1, イ = 1, ウエオ = -24, カキ = 16

(2) ク = 3, ケ = 4, コ = 2, サ = 0, シ = 3, ス = 7, セ=3, ソ = 0

(3) タ = 2, チ = 3, ツ = 2