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問題は、座標平面上の点に関する軌跡を求める問題です。点M(2, -1)があり、点P(s, t)に対して、3点M, P, Qが同一直線上に並び、MQ = aMPとなる点Q(x, y)を考えます。ここで、$a > 1$です。 (1) 点Pは線分MQを内分する比と、点Qの座標を求めます。 (2) 点Pが原点中心、半径1の円上にあるとき、点Qの軌跡を求めます。 (3) 直線$l: x + y - k = 0$が円$x^2 + y^2 = 1$に接するときのkの値を求め、点Pが直線l上を動くときの点Qの軌跡を求めます。 (4) 円C_aと直線l_aの関係について考察します。

幾何学軌跡円直線内分点接線
2025/4/17

1. 問題の内容

問題は、座標平面上の点に関する軌跡を求める問題です。点M(2, -1)があり、点P(s, t)に対して、3点M, P, Qが同一直線上に並び、MQ = aMPとなる点Q(x, y)を考えます。ここで、a>1a > 1です。
(1) 点Pは線分MQを内分する比と、点Qの座標を求めます。
(2) 点Pが原点中心、半径1の円上にあるとき、点Qの軌跡を求めます。
(3) 直線l:x+y−k=0l: x + y - k = 0が円x2+y2=1x^2 + y^2 = 1に接するときのkの値を求め、点Pが直線l上を動くときの点Qの軌跡を求めます。
(4) 円C_aと直線l_aの関係について考察します。

2. 解き方の手順

(1)
点Pは線分MQを 1:(a−1)1:(a-1) に内分します。
点P(s, t)は線分MQを1:(a−1)1:(a-1)に内分するので、
s=(a−1)x+2as = \frac{(a-1)x + 2}{a}, t=(a−1)y−1at = \frac{(a-1)y - 1}{a}
よって、
as=(a−1)x+2as = (a-1)x + 2 より、 s=x+2a−1a/(a−1)=x+2a−1aa−1s = \frac{x + \frac{2}{a-1}}{a/(a-1)} = \frac{x + \frac{2}{a-1}}{\frac{a}{a-1}}
at=(a−1)y−1at = (a-1)y - 1 より、 t=y−1a−1a/(a−1)=y−1a−1aa−1t = \frac{y - \frac{1}{a-1}}{a/(a-1)} = \frac{y - \frac{1}{a-1}}{\frac{a}{a-1}}
ア: 1, イ: a-1, ウ: 2, エ: -, オ: 1, カ: a/(a-1), キ: 1, ク: -, ケ: 1
(2)
点Pが円s2+t2=1s^2 + t^2 = 1上にあるとき、
((a−1)x+2a)2+((a−1)y−1a)2=1(\frac{(a-1)x + 2}{a})^2 + (\frac{(a-1)y - 1}{a})^2 = 1
(a−1)2x2+4(a−1)x+4+(a−1)2y2−2(a−1)y+1=a2(a-1)^2x^2 + 4(a-1)x + 4 + (a-1)^2y^2 - 2(a-1)y + 1 = a^2
(a−1)2(x2+y2)+4(a−1)x−2(a−1)y+5−a2=0(a-1)^2(x^2 + y^2) + 4(a-1)x - 2(a-1)y + 5 - a^2 = 0
x2+4a−1x+y2−2a−1y=a2−5(a−1)2x^2 + \frac{4}{a-1}x + y^2 - \frac{2}{a-1}y = \frac{a^2 - 5}{(a-1)^2}
(x+2a−1)2−4(a−1)2+(y−1a−1)2−1(a−1)2=a2−5(a−1)2(x + \frac{2}{a-1})^2 - \frac{4}{(a-1)^2} + (y - \frac{1}{a-1})^2 - \frac{1}{(a-1)^2} = \frac{a^2 - 5}{(a-1)^2}
(x+2a−1)2+(y−1a−1)2=a2(a−1)2(x + \frac{2}{a-1})^2 + (y - \frac{1}{a-1})^2 = \frac{a^2}{(a-1)^2}
コ: 2, サ: -, シ: 1, ス: 1, セ: +, ソ: (a/(a-1))^2
(3)
直線x+y−k=0x+y-k=0が円x2+y2=1x^2+y^2=1に接するので、∣0+0−k12+12∣=1|\frac{0+0-k}{\sqrt{1^2+1^2}}| = 1
∣−k2∣=1|\frac{-k}{\sqrt{2}}| = 1より、k=2k = \sqrt{2}
タ: 2
点Pは直線x+y−2=0x+y-\sqrt{2}=0上にあるので、s+t=2s+t = \sqrt{2}.
s=(a−1)x+2as = \frac{(a-1)x + 2}{a}, t=(a−1)y−1at = \frac{(a-1)y - 1}{a}
(a−1)x+2a+(a−1)y−1a=2\frac{(a-1)x + 2}{a} + \frac{(a-1)y - 1}{a} = \sqrt{2}
(a−1)x+2+(a−1)y−1=a2(a-1)x + 2 + (a-1)y - 1 = a\sqrt{2}
(a−1)x+(a−1)y+1−a2=0(a-1)x + (a-1)y + 1 - a\sqrt{2} = 0
x+y+1−a2a−1=0x+y+\frac{1-a\sqrt{2}}{a-1} = 0
x+y+(1a−1−a2a−1)=0x+y+(\frac{1}{a-1} - \frac{a\sqrt{2}}{a-1}) = 0
x+y+(1a−1−a2a−1)=0x+y+(\frac{1}{a-1} - \frac{a\sqrt{2}}{a-1}) = 0
x+y+(1−a2a−1)=0x+y+(\frac{1 - a\sqrt{2}}{a-1}) = 0
チ: 1, ツ: 2, テ: a-1
(4)
円CaC_aの中心は(−2a−1,1a−1)(-\frac{2}{a-1}, \frac{1}{a-1})であり、半径はaa−1\frac{a}{a-1}
直線la:x+y+1−a2a−1=0l_a: x+y+\frac{1-a\sqrt{2}}{a-1} = 0
円CaC_aの中心と直線lal_aの距離は、
d=∣−2a−1+1a−1+1−a2a−1∣12+12=∣−a2a−1∣2=a2(a−1)2=aa−1d = \frac{|-\frac{2}{a-1} + \frac{1}{a-1} + \frac{1-a\sqrt{2}}{a-1}|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|-\frac{a\sqrt{2}}{a-1}|}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{(a-1)\sqrt{2}} = \frac{a}{a-1}
d=aa−1d = \frac{a}{a-1}
ト: 2
円CaC_aの半径はr=aa−1r = \frac{a}{a-1}なので、円の中心と直線との距離が半径と等しい。
したがって、円CaC_aと直線lal_aは接する。
ナ: 1

3. 最終的な答え

ア: 1, イ: a-1
ウ: 2, エ: -, オ: 1, カ: a/(a-1)
キ: 1, ク: -, ケ: 1
コ: 2, サ: -, シ: 1
ス: 1, セ: +, ソ: (a/(a-1))^2
タ: 2
チ: 1, ツ: 2, テ: a-1
ト: 2
ナ: 1

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