実数 $k$ をパラメータとする $x$ の整式 $P(x) = x^4 + (k-1)x^2 + (6-2k)x + 3k$ について、いくつかの問いに答える問題です。 (1) $k=0$ のときの $P(x)$ の因数分解と虚数解を求める。 (2) $k=3$ のときの $P(x)$ を $x^2 - 2x + 3$ で割った商を求める。 (3) $P(x)$ が $x^2 - 2x + 3$ で常に割り切れるという予想のもと、$P(x) = (x^2 + mx + n)(x^2 - 2x + 3)$ となる $m, n$ を求める。 (4) $P(x) = 0$ が実数解を持たない $k$ の範囲を求める。

1. 問題の内容

実数 $k$ をパラメータとする $x$ の整式 $P(x) = x^4 + (k-1)x^2 + (6-2k)x + 3k$ について、いくつかの問いに答える問題です。

(1) $k=0$ のときの $P(x)$ の因数分解と虚数解を求める。

(2) $k=3$ のときの $P(x)$ を $x^2 - 2x + 3$ で割った商を求める。

(3) $P(x)$ が $x^2 - 2x + 3$ で常に割り切れるという予想のもと、$P(x) = (x^2 + mx + n)(x^2 - 2x + 3)$ となる $m, n$ を求める。

(4) $P(x) = 0$ が実数解を持たない $k$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $k=0$ のとき、

$P(x) = x^4 - x^2 + 6x = x(x^3 - x + 6)$

$P(-2) = (-2)((-2)^3 - (-2) + 6) = -2(-8+2+6) = 0$

よって $P(x)$ は $x+2$ を因数に持つので、

$x^3 - x + 6 = (x+2)(x^2 - 2x + 3)$

$P(x) = x(x+2)(x^2-2x+3)$

$x^2-2x+3=0$ の解は $x = \frac{2 \pm \sqrt{4-12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}i$

(2) $k=3$ のとき、

$P(x) = x^4 + 2x^2 + 0x + 9$

$P(x)$ を $x^2-2x+3$ で割ると、

$x^4 + 2x^2 + 9 = (x^2 + 2x + 3)(x^2 - 2x + 3)$

(3) $P(x) = (x^2 + mx + n)(x^2 - 2x + 3)$ とおくと、

$P(x) = x^4 + (m-2)x^3 + (3-2m+n)x^2 + (3m-2n)x + 3n$

元の式と比較して

$x^3$ の係数は $m-2 = 0$ より $m=2$

定数項は $3n=3k$ より $n=k$

このとき、$P(x) = (x^2 + 2x + k)(x^2 - 2x + 3) = x^4 + (k-1)x^2 + (6-2k)x + 3k$が成り立つ。

実際に計算すると、$x^4 -2x^3 + 3x^2 + 2x^3 - 4x^2 + 6x + kx^2 -2kx + 3k = x^4 + (3-4+k)x^2 + (6-2k)x + 3k = x^4 + (k-1)x^2 + (6-2k)x + 3k$

(4) $P(x) = 0$ が実数解を持たないためには、$x^2+2x+k=0$ が実数解を持たない必要がある。$x^2-2x+3 = 0$ は虚数解を持つことは(1)で示した。

$x^2 + 2x + k = 0$ の判別式 $D = 2^2 - 4k = 4 - 4k < 0$ より $4k > 4$ よって $k>1$

3. 最終的な答え

ア: 6

イ: 0

ウ: 2

エ: 1

オ: 2

カ: 2

キ: 3

ク: 2

ケ: 1