座標平面上に原点O、点A(5,0)、点B(4,3)、点C(0,5)がある。四角形OABCの周および内部からなる領域をDとする。 直線ABの方程式を$y = m_1x + n_1$、直線BCの方程式を$y = m_2x + n_2$とする。 (1) $m_1, n_1, m_2, n_2$の値を求める。 (2) 領域Dを連立不等式で表す。 (3) 点(x,y)が領域D内を動くとき、$y - m_1x$の最大値を求める。また、$m_1 < p < m_2$を満たす定数pに対して、$y - px$の最大値を求める。 (4) 点(x,y)が領域D内を動くとき、$(x+3)^2 + y^2$および$(x+4)^2 + (y+3)^2$の最小値と最大値を求める。

1. 問題の内容

座標平面上に原点O、点A(5,0)、点B(4,3)、点C(0,5)がある。四角形OABCの周および内部からなる領域をDとする。

直線ABの方程式を$y = m_1x + n_1$、直線BCの方程式を$y = m_2x + n_2$とする。

(1) $m_1, n_1, m_2, n_2$の値を求める。

(2) 領域Dを連立不等式で表す。

(3) 点(x,y)が領域D内を動くとき、$y - m_1x$の最大値を求める。また、$m_1 < p < m_2$を満たす定数pに対して、$y - px$の最大値を求める。

(4) 点(x,y)が領域D内を動くとき、$(x+3)^2 + y^2$および$(x+4)^2 + (y+3)^2$の最小値と最大値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

直線ABはA(5,0)、B(4,3)を通るので、傾き$m_1 = \frac{3-0}{4-5} = -3$。

y切片は$y = -3x + n_1$に(5,0)を代入して、$0 = -3(5) + n_1$より、$n_1 = 15$。

直線BCはB(4,3)、C(0,5)を通るので、傾き$m_2 = \frac{5-3}{0-4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$。

y切片は$n_2 = 5$。

(2)

四角形OABCの周および内部は、直線ABの上側、直線BCの下側、x >= 0、y >= 0で囲まれる領域なので、

$y \ge m_1x + n_1$、 $y \le m_2x + n_2$、 $x \ge 0$、 $y \ge 0$。

よって、$y \ge -3x + 15$、$y \le -\frac{1}{2}x + 5$、$x \ge 0$、$y \ge 0$。

(3)

$y - m_1x = y - (-3)x = y + 3x = k$とおくと、$y = -3x + k$は傾き-3、y切片kの直線を表す。

A(5,0)を通る時、$0 + 3(5) = 15$。B(4,3)を通る時、$3 + 3(4) = 15$。

C(0,5)を通る時、$5 + 3(0) = 5$。O(0,0)を通る時、$0 + 3(0) = 0$。

したがって、最大値は15。

$y - px = k$とおくと、$y = px + k$。この直線の傾きはp。

$m_1 = -3 < p < -\frac{1}{2} = m_2$。

$y = px + k$がB(4,3)を通る時、$3 = 4p + k$より、$k = 3 - 4p$。

$y = px + 3 - 4p$。したがって、y-pxの最大値は$3 - 4p$。

(4)

$(x+3)^2 + y^2 = t$とおくと、これは中心(-3,0)、半径$\sqrt{t}$の円を表す。

領域D内で$(x+3)^2 + y^2$が最小になるのは原点O(0,0)を通る時で、最小値は$(0+3)^2 + 0^2 = 9$。

領域D内で$(x+3)^2 + y^2$が最大になるのは点C(0,5)を通る時で、最大値は$(0+3)^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34$。

$(x+4)^2 + (y+3)^2$は、中心(-4,-3)からの距離の二乗。

領域D内の点で(-4,-3)に最も近い点は原点(0,0)である。

距離は$\sqrt{(-4-0)^2 + (-3-0)^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$。よって、最小値は$5^2 = 25$。

領域D内の点で(-4,-3)から最も遠い点はC(0,5)である。

距離は$\sqrt{(-4-0)^2 + (-3-5)^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$。よって、最大値は$80$。

3. 最終的な答え

(1) $m_1 = -3$, $n_1 = 15$, $m_2 = -\frac{1}{2}$, $n_2 = 5$

(2) $y \ge -3x + 15$, $y \le -\frac{1}{2}x + 5$, $x \ge 0$, $y \ge 0$

(3) $y-m_1x$の最大値: 15、 $y-px$の最大値: $3 - 4p$

(4) $(x+3)^2 + y^2$の最小値: 9、最大値: 34、 $(x+4)^2 + (y+3)^2$の最小値: 25、最大値: 80