原点Oを中心とする半径2の円Oの外側を、半径1の円Cが円Oに外接しながら滑ることなく転がるとき、円C上の点Pの軌跡を考える。点Pの初期位置はA(2,0)とする。円Cの中心がOのまわりを$\theta$だけ回転したときの点Pの座標$(x, y)$を$\theta$で表す。ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$とする。

幾何学軌跡パラメータ表示三角関数サイクロイド
2025/3/15

1. 問題の内容

原点Oを中心とする半径2の円Oの外側を、半径1の円Cが円Oに外接しながら滑ることなく転がるとき、円C上の点Pの軌跡を考える。点Pの初期位置はA(2,0)とする。円Cの中心がOのまわりをθ\thetaだけ回転したときの点Pの座標(x,y)(x, y)θ\thetaで表す。ただし、0<θ<π20 < \theta < \frac{\pi}{2}とする。

2. 解き方の手順

円Cの中心をCとする。
円Oと円Cの接点をTとする。
AOC=θ\angle AOC = \theta である。
円Cが円Oの周りをθ\theta回転するとき、円C上の点Pは円Cの中心から見て3θ3\theta回転する。
なぜなら、円Oの半径は2、円Cの半径は1なので、arc OT=2θ\mathrm{arc}\ OT = 2\thetaである。円Cが転がる距離はarc OT\mathrm{arc}\ OTに等しいので、円Cの回転角は2θ1=2θ\frac{2\theta}{1} = 2\thetaである。点Pの初期位置はAなので、2θ+θ=3θ2\theta + \theta = 3\thetaとなる。
点Cの座標は(3cosθ,3sinθ)(3\cos\theta, 3\sin\theta)である。
点Pは点Cを中心として、3θ3\theta回転した位置にあるので、
x=3cosθ+cos(θ+3π2)=3cosθ+sin3θx = 3\cos\theta + \cos(\theta+ \frac{3\pi}{2}) = 3\cos\theta + \sin 3\theta
y=3sinθ+sin(θ+3π2)=3sinθcos3θy = 3\sin\theta + \sin(\theta+ \frac{3\pi}{2}) = 3\sin\theta - \cos 3\theta
ただし、θ\thetaの正の方向は反時計回りなので、点PはAから3θ-3\theta回転する。よって、
x=3cosθ+cos(θ3θ)=3cosθ+cos(2θ)=3cosθ+cos2θx = 3\cos\theta + \cos(\theta-3\theta) = 3\cos\theta + \cos(-2\theta) = 3\cos\theta + \cos 2\theta
y=3sinθ+sin(θ3θ)=3sinθ+sin(2θ)=3sinθsin2θy = 3\sin\theta + \sin(\theta-3\theta) = 3\sin\theta + \sin(-2\theta) = 3\sin\theta - \sin 2\theta

3. 最終的な答え

x=3cosθ+cos2θx = 3\cos\theta + \cos 2\theta
y=3sinθsin2θy = 3\sin\theta - \sin 2\theta

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