原点Oを中心とする半径2の円Oの外側を、半径1の円Cが円Oに外接しながら滑ることなく転がるとき、円C上の点Pの軌跡を考える。点Pの初期位置はA(2,0)とする。円Cの中心がOのまわりを$\theta$だけ回転したときの点Pの座標$(x, y)$を$\theta$で表す。ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$とする。

1. 問題の内容

原点Oを中心とする半径2の円Oの外側を、半径1の円Cが円Oに外接しながら滑ることなく転がるとき、円C上の点Pの軌跡を考える。点Pの初期位置はA(2,0)とする。円Cの中心がOのまわりを$\theta$だけ回転したときの点Pの座標$(x, y)$を$\theta$で表す。ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$とする。

2. 解き方の手順

円Cの中心をCとする。

円Oと円Cの接点をTとする。

$\angle AOC = \theta$ である。

円Cが円Oの周りを$\theta$回転するとき、円C上の点Pは円Cの中心から見て$3\theta$回転する。

なぜなら、円Oの半径は2、円Cの半径は1なので、$\mathrm{arc}\ OT = 2\theta$である。円Cが転がる距離は$\mathrm{arc}\ OT$に等しいので、円Cの回転角は$\frac{2\theta}{1} = 2\theta$である。点Pの初期位置はAなので、$2\theta + \theta = 3\theta$となる。

点Cの座標は$(3\cos\theta, 3\sin\theta)$である。

点Pは点Cを中心として、$3\theta$回転した位置にあるので、

$x = 3\cos\theta + \cos(\theta+ \frac{3\pi}{2}) = 3\cos\theta + \sin 3\theta$

$y = 3\sin\theta + \sin(\theta+ \frac{3\pi}{2}) = 3\sin\theta - \cos 3\theta$

ただし、$\theta$の正の方向は反時計回りなので、点PはAから$-3\theta$回転する。よって、

$x = 3\cos\theta + \cos(\theta-3\theta) = 3\cos\theta + \cos(-2\theta) = 3\cos\theta + \cos 2\theta$

$y = 3\sin\theta + \sin(\theta-3\theta) = 3\sin\theta + \sin(-2\theta) = 3\sin\theta - \sin 2\theta$

3. 最終的な答え

$x = 3\cos\theta + \cos 2\theta$

$y = 3\sin\theta - \sin 2\theta$