与えられた式 $3x^2 - xy - 2y^2 + 6x - y + 3$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $3x^2 - xy - 2y^2 + 6x - y + 3$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を$x$についての2次式と見て整理します。

$3x^2 + (-y + 6)x + (-2y^2 - y + 3)$

次に、定数項 $-2y^2 - y + 3$ を因数分解します。

$-2y^2 - y + 3 = -(2y^2 + y - 3) = -(2y+3)(y-1) = (-2y-3)(1-y) = (2y+3)(y-1)$

よって、

$3x^2 + (-y + 6)x + (2y+3)(1-y)$

$= (3x + ay+b)(x+cy+d)$

の形に因数分解できると仮定します。

$3x^2 + (3cy+3d + ay+b)x + (acy^2 + (ad+bc)y + bd)$

$= 3x^2 + (3c+a)xy+(3d+b)x + acy^2+(ad+bc)y + bd$

与式と比較すると、

$3c+a = -1$

$3d+b = 6$

$ac = -2$

$ad+bc = -1$

$bd = 3$

$ac = -2$ より、$a = 2, c = -1$　または $a = -2, c = 1$ または $a=1, c=-2$または $a = -1, c = 2$

$3c+a = -1$ に代入すると、$a = 2, c = -1$ となります。

$3d+b = 6$

$ad+bc = -1$

$bd = 3$

$a = 2, c = -1$ を $ad+bc = -1$ に代入すると、$2d - b = -1$

$bd = 3$

$b=3, d=1$ または $b = 1, d = 3$ または $b=-3, d=-1$ または $b = -1, d = -3$

$2d-b = -1$ に代入すると、$b=3, d=1$ となります。

したがって、

$3x^2 + (-y + 6)x + (-2y^2 - y + 3)$

$= (3x + 2y + 3)(x - y + 1)$

3. 最終的な答え

$(3x + 2y + 3)(x - y + 1)$