与えられた式 $2x^2 - 3xy - 2y^2 + 5x + 5y - 3$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2 - 3xy - 2y^2 + 5x + 5y - 3$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$2x^2 + (5 - 3y)x - (2y^2 - 5y + 3)$

次に、定数項を因数分解します。

$2y^2 - 5y + 3 = (2y - 3)(y - 1)$

したがって、与式は

$2x^2 + (5 - 3y)x - (2y - 3)(y - 1)$

因数分解の形を $(ax + by + c)(dx + ey + f)$ とおいて、$x$ の項、y の項、定数項を比較して因数分解を試みます。

与式を $(2x + y + a)(x - 2y + b)$ の形に因数分解できると仮定します。

すると、$2x^2 - 3xy - 2y^2$ の項は再現できます。

$(2x + y + a)(x - 2y + b) = 2x^2 - 3xy - 2y^2 + (a + 2b)x + (b - 2a)y + ab$

これを与式 $2x^2 - 3xy - 2y^2 + 5x + 5y - 3$ と比較すると、

$a + 2b = 5$

$b - 2a = 5$

$ab = -3$

上の二つの式から $a, b$ を求めます。

$2(a + 2b) + (b - 2a) = 2(5) + 5$

$5b = 15$

$b = 3$

$a = 5 - 2b = 5 - 6 = -1$

$ab = (-1)(3) = -3$

したがって、与式は $(2x + y - 1)(x - 2y + 3)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(2x + y - 1)(x - 2y + 3)$