2つの不等式 $2x^2 - 3x - 2 > 0$ (①) と $x^2 - (a-1)x + a - 2 < 0$ (②) が与えられています。ただし、$a > 3$ です。 (1) 不等式①を解きます。 (2) 不等式①と②を同時に満たす $x$ の値が存在するような $a$ の範囲を求めます。

1. 問題の内容

2つの不等式 $2x^2 - 3x - 2 > 0$ (①) と $x^2 - (a-1)x + a - 2 < 0$ (②) が与えられています。ただし、$a > 3$ です。

(1) 不等式①を解きます。

(2) 不等式①と②を同時に満たす $x$ の値が存在するような $a$ の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 不等式①を解きます。

$2x^2 - 3x - 2 > 0$ を因数分解します。

$(2x + 1)(x - 2) > 0$

したがって、$x < -\frac{1}{2}$ または $x > 2$

(2) 不等式②を解きます。

$x^2 - (a-1)x + a - 2 < 0$ を因数分解します。

$(x-1)(x-(a-2)) < 0$

$a > 3$ より、$a-2 > 1$ なので、$1 < x < a-2$

不等式①と②を同時に満たす $x$ の値が存在するためには、$1 < x < a-2$ と $x < -\frac{1}{2}$ または $x > 2$ の範囲に共通部分が存在する必要があります。

(i) $1 < x < a-2$ と $x < -\frac{1}{2}$ に共通部分が存在する場合、これはありえません。なぜなら、$x > 1$ かつ $x < -\frac{1}{2}$ を満たす $x$ は存在しないからです。

(ii) $1 < x < a-2$ と $x > 2$ に共通部分が存在する場合、$2 < a-2$ である必要があります。

$2 < a-2$

$4 < a$

したがって、$a > 4$

3. 最終的な答え

(1) $x < -\frac{1}{2}$ または $x > 2$

(2) $a > 4$