(1) 2つの2次不等式 $4x^2 - 4x - 15 < 0$ と $2x^2 + x - 1 \geq 0$ を同時に満たす整数 $x$ の個数を求めよ。 (2) 不等式 $x^2 - (a+2)x + 2a < 0$ を解け。

1. 問題の内容

(1) 2つの2次不等式 $4x^2 - 4x - 15 < 0$ と $2x^2 + x - 1 \geq 0$ を同時に満たす整数 $x$ の個数を求めよ。

(2) 不等式 $x^2 - (a+2)x + 2a < 0$ を解け。

2. 解き方の手順

(1) 2つの不等式をそれぞれ解き、共通範囲にある整数を数える。

まず、$4x^2 - 4x - 15 < 0$ を解く。

$4x^2 - 4x - 15 = (2x - 5)(2x + 3)$ なので、

$(2x - 5)(2x + 3) < 0$

$-\frac{3}{2} < x < \frac{5}{2}$

次に、$2x^2 + x - 1 \geq 0$ を解く。

$2x^2 + x - 1 = (2x - 1)(x + 1)$ なので、

$(2x - 1)(x + 1) \geq 0$

$x \leq -1$ または $x \geq \frac{1}{2}$

したがって、2つの不等式の共通範囲は、

$-\frac{3}{2} < x \leq -1$ または $\frac{1}{2} \leq x < \frac{5}{2}$

これを満たす整数は、 $x = -1, 1, 2$ の3つである。

(2) 不等式 $x^2 - (a+2)x + 2a < 0$ を解く。

$x^2 - (a+2)x + 2a = (x - a)(x - 2)$ なので、

$(x - a)(x - 2) < 0$

$a < 2$ のとき、$a < x < 2$

$a = 2$ のとき、解なし

$a > 2$ のとき、$2 < x < a$

3. 最終的な答え

(1) 3個

(2) $a < 2$ のとき、$a < x < 2$

$a = 2$ のとき、解なし

$a > 2$ のとき、$2 < x < a$