与えられた式 $a^2b + a - b - 1$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2b + a - b - 1$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、最初の2つの項と最後の2つの項をそれぞれまとめます。

$a^2b + a$ から $a$ をくくり出すと、$a(ab + 1)$ となります。

$-b - 1$ から $-1$ をくくり出すと、$-(b + 1)$ となります。

式全体は以下のようになります。

$a^2b + a - b - 1 = a(ab + 1) - (b + 1)$

ここで、共通因数が見当たらないので、最初の2項を$a^2b - b$、最後の2項を$a-1$として考えます。

$a^2b - b = b(a^2 - 1)$

$a^2 - 1$は差の平方の公式から$(a-1)(a+1)$と因数分解できるので、

$b(a^2-1) = b(a-1)(a+1)$

従って、

$a^2b + a - b - 1 = b(a-1)(a+1) + (a-1)$

$(a-1)$が共通因数としてあるので、くくりだします。

$b(a-1)(a+1) + (a-1) = (a-1)[b(a+1) + 1]$

整理すると、

$(a-1)[b(a+1) + 1] = (a-1)(ab + b + 1)$

3. 最終的な答え

$(a-1)(ab+b+1)$