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2次関数 $y = x^2 - 2(2a-1)x + 3a^2 + 8$ の最小値を $m$ とするとき、$m$ の最大値を求めよ。

代数学二次関数平方完成最大値最小値
2025/4/17

1. 問題の内容

2次関数 y=x2−2(2a−1)x+3a2+8y = x^2 - 2(2a-1)x + 3a^2 + 8 の最小値を mm とするとき、mm の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。
y=x2−2(2a−1)x+3a2+8y = x^2 - 2(2a-1)x + 3a^2 + 8
y=(x−(2a−1))2−(2a−1)2+3a2+8y = (x - (2a-1))^2 - (2a-1)^2 + 3a^2 + 8
y=(x−(2a−1))2−(4a2−4a+1)+3a2+8y = (x - (2a-1))^2 - (4a^2 - 4a + 1) + 3a^2 + 8
y=(x−(2a−1))2−4a2+4a−1+3a2+8y = (x - (2a-1))^2 - 4a^2 + 4a - 1 + 3a^2 + 8
y=(x−(2a−1))2−a2+4a+7y = (x - (2a-1))^2 - a^2 + 4a + 7
したがって、最小値 mm は m=−a2+4a+7m = -a^2 + 4a + 7 となります。
次に、mm の最大値を求めます。mm は aa の2次関数なので、平方完成して最大値を求めます。
m=−a2+4a+7m = -a^2 + 4a + 7
m=−(a2−4a)+7m = -(a^2 - 4a) + 7
m=−(a2−4a+4)+4+7m = -(a^2 - 4a + 4) + 4 + 7
m=−(a−2)2+11m = -(a - 2)^2 + 11
したがって、mm は a=2a = 2 のとき最大値 11 をとります。

3. 最終的な答え

11

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