(1) $x \geq 0$, $y \geq 0$, $2x+y=6$ のとき、$4x^2+3xy+y^2-6x-3y$ の最大値と最小値を求める。 (2) $x^2+y^2=4$ のとき、$x^2-2y^2+6x$ の最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

(1) $x \geq 0$, $y \geq 0$, $2x+y=6$ のとき、$4x^2+3xy+y^2-6x-3y$ の最大値と最小値を求める。

(2) $x^2+y^2=4$ のとき、$x^2-2y^2+6x$ の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$2x+y=6$ より、$y = 6-2x$ である。これを $4x^2+3xy+y^2-6x-3y$ に代入すると、

\begin{align*} 4x^2+3x(6-2x)+(6-2x)^2-6x-3(6-2x) &= 4x^2+18x-6x^2+36-24x+4x^2-6x-18+6x \\ &= 2x^2 - 6x + 18 \\ &= 2(x^2-3x) + 18 \\ &= 2(x - \frac{3}{2})^2 - 2(\frac{9}{4}) + 18 \\ &= 2(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{2} + \frac{36}{2} \\ &= 2(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{27}{2} \end{align*}

ここで、$x \geq 0$ かつ $y \geq 0$ より、$6-2x \geq 0$ すなわち $x \leq 3$ である。よって、$0 \leq x \leq 3$ である。

$f(x) = 2(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{27}{2}$ とおくと、$0 \leq x \leq 3$ において、$f(x)$ は、$x = \frac{3}{2}$ で最小値 $\frac{27}{2}$ をとり、$x=0$ または $x=3$ で最大値をとる。

$f(0) = 2(\frac{9}{4}) + \frac{27}{2} = \frac{9}{2} + \frac{27}{2} = \frac{36}{2} = 18$

$f(3) = 2(\frac{3}{2})^2 + \frac{27}{2} = 2(\frac{9}{4}) + \frac{27}{2} = \frac{9}{2} + \frac{27}{2} = \frac{36}{2} = 18$

よって、$x = 0$ または $x = 3$ で最大値 $18$ をとる。

(2)

$x^2+y^2=4$ より、$y^2 = 4 - x^2$ である。これを $x^2-2y^2+6x$ に代入すると、

$x^2-2(4-x^2)+6x = x^2-8+2x^2+6x = 3x^2+6x-8 = 3(x^2+2x)-8 = 3(x+1)^2-3-8 = 3(x+1)^2-11$

$x^2+y^2=4$ より、$-2 \leq x \leq 2$ である。

$f(x) = 3(x+1)^2-11$ とおくと、$-2 \leq x \leq 2$ において、$f(x)$ は、$x=-1$ で最小値 $-11$ をとり、$x=2$ で最大値をとる。

$f(2) = 3(3)^2-11 = 27-11 = 16$

よって、$x=2$ で最大値 $16$ をとる。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 18, 最小値: $\frac{27}{2}$

(2) 最大値: 16, 最小値: -11