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次の式を展開せよ。 (1) $3x^2(3x^2 - 5x + 2)$ (2) $(x^2 - 2xy - 3y^2)(-xy^2)$ (3) $(x^3 + 3x^2 - 4)(x - 2)$ (4) $(x^3 - 3 + 4x^2)(2 + x^2)$ (5) $(x + y)(x^2 - xy + 2y^2)$ (6) $(2x - 3y + 1)(x + y - 2)$

代数学式の展開多項式
2025/4/17
はい、承知いたしました。画像に書かれている６つの数式を展開します。

1. 問題の内容

次の式を展開せよ。
(1) 3x2(3x2−5x+2)3x^2(3x^2 - 5x + 2)
(2) (x2−2xy−3y2)(−xy2)(x^2 - 2xy - 3y^2)(-xy^2)
(3) (x3+3x2−4)(x−2)(x^3 + 3x^2 - 4)(x - 2)
(4) (x3−3+4x2)(2+x2)(x^3 - 3 + 4x^2)(2 + x^2)
(5) (x+y)(x2−xy+2y2)(x + y)(x^2 - xy + 2y^2)
(6) (2x−3y+1)(x+y−2)(2x - 3y + 1)(x + y - 2)

2. 解き方の手順

各問題ごとに展開の手順を示します。
(1) 3x2(3x2−5x+2)3x^2(3x^2 - 5x + 2)
分配法則を用いて、3x23x^2 を括弧内の各項に掛けます。
3x2⋅3x2=9x43x^2 \cdot 3x^2 = 9x^4
3x2⋅(−5x)=−15x33x^2 \cdot (-5x) = -15x^3
3x2⋅2=6x23x^2 \cdot 2 = 6x^2
したがって、9x4−15x3+6x29x^4 - 15x^3 + 6x^2
(2) (x2−2xy−3y2)(−xy2)(x^2 - 2xy - 3y^2)(-xy^2)
分配法則を用いて、−xy2-xy^2 を括弧内の各項に掛けます。
x2⋅(−xy2)=−x3y2x^2 \cdot (-xy^2) = -x^3y^2
−2xy⋅(−xy2)=2x2y3-2xy \cdot (-xy^2) = 2x^2y^3
−3y2⋅(−xy2)=3xy4-3y^2 \cdot (-xy^2) = 3xy^4
したがって、−x3y2+2x2y3+3xy4-x^3y^2 + 2x^2y^3 + 3xy^4
(3) (x3+3x2−4)(x−2)(x^3 + 3x^2 - 4)(x - 2)
分配法則を用いて、各項を掛け合わせます。
x3⋅x=x4x^3 \cdot x = x^4
x3⋅(−2)=−2x3x^3 \cdot (-2) = -2x^3
3x2⋅x=3x33x^2 \cdot x = 3x^3
3x2⋅(−2)=−6x23x^2 \cdot (-2) = -6x^2
−4⋅x=−4x-4 \cdot x = -4x
−4⋅(−2)=8-4 \cdot (-2) = 8
したがって、x4−2x3+3x3−6x2−4x+8=x4+x3−6x2−4x+8x^4 - 2x^3 + 3x^3 - 6x^2 - 4x + 8 = x^4 + x^3 - 6x^2 - 4x + 8
(4) (x3−3+4x2)(2+x2)(x^3 - 3 + 4x^2)(2 + x^2)
分配法則を用いて、各項を掛け合わせます。
x3⋅2=2x3x^3 \cdot 2 = 2x^3
x3⋅x2=x5x^3 \cdot x^2 = x^5
−3⋅2=−6-3 \cdot 2 = -6
−3⋅x2=−3x2-3 \cdot x^2 = -3x^2
4x2⋅2=8x24x^2 \cdot 2 = 8x^2
4x2⋅x2=4x44x^2 \cdot x^2 = 4x^4
したがって、x5+4x4+2x3+5x2−6x^5 + 4x^4 + 2x^3 + 5x^2 - 6
(5) (x+y)(x2−xy+2y2)(x + y)(x^2 - xy + 2y^2)
分配法則を用いて、各項を掛け合わせます。
x⋅x2=x3x \cdot x^2 = x^3
x⋅(−xy)=−x2yx \cdot (-xy) = -x^2y
x⋅2y2=2xy2x \cdot 2y^2 = 2xy^2
y⋅x2=x2yy \cdot x^2 = x^2y
y⋅(−xy)=−xy2y \cdot (-xy) = -xy^2
y⋅2y2=2y3y \cdot 2y^2 = 2y^3
したがって、x3−x2y+2xy2+x2y−xy2+2y3=x3+xy2+2y3x^3 - x^2y + 2xy^2 + x^2y - xy^2 + 2y^3 = x^3 + xy^2 + 2y^3
(6) (2x−3y+1)(x+y−2)(2x - 3y + 1)(x + y - 2)
分配法則を用いて、各項を掛け合わせます。
2x⋅x=2x22x \cdot x = 2x^2
2x⋅y=2xy2x \cdot y = 2xy
2x⋅(−2)=−4x2x \cdot (-2) = -4x
−3y⋅x=−3xy-3y \cdot x = -3xy
−3y⋅y=−3y2-3y \cdot y = -3y^2
−3y⋅(−2)=6y-3y \cdot (-2) = 6y
1⋅x=x1 \cdot x = x
1⋅y=y1 \cdot y = y
1⋅(−2)=−21 \cdot (-2) = -2
したがって、2x2+2xy−4x−3xy−3y2+6y+x+y−2=2x2−xy−3x−3y2+7y−22x^2 + 2xy - 4x - 3xy - 3y^2 + 6y + x + y - 2 = 2x^2 - xy - 3x - 3y^2 + 7y - 2

3. 最終的な答え

(1) 9x4−15x3+6x29x^4 - 15x^3 + 6x^2
(2) −x3y2+2x2y3+3xy4-x^3y^2 + 2x^2y^3 + 3xy^4
(3) x4+x3−6x2−4x+8x^4 + x^3 - 6x^2 - 4x + 8
(4) x5+4x4+2x3+5x2−6x^5 + 4x^4 + 2x^3 + 5x^2 - 6
(5) x3+xy2+2y3x^3 + xy^2 + 2y^3
(6) 2x2−xy−3x−3y2+7y−22x^2 - xy - 3x - 3y^2 + 7y - 2

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