次の等差数列の和を求めます。 1) 等差数列 $1, 4, 7, \dots, 97$ の和 2) 初項 $200$, 公差 $-5$ の等差数列の初項から第 $100$ 項までの和 3) 第 $8$ 項が $37$, 第 $24$ 項が $117$ の等差数列の第 $20$ 項から第 $50$ 項までの和

1. 問題の内容

次の等差数列の和を求めます。

1) 等差数列 $1, 4, 7, \dots, 97$ の和

2) 初項 $200$, 公差 $-5$ の等差数列の初項から第 $100$ 項までの和

3) 第 $8$ 項が $37$, 第 $24$ 項が $117$ の等差数列の第 $20$ 項から第 $50$ 項までの和

2. 解き方の手順

1) 等差数列 $1, 4, 7, \dots, 97$ の和を求める。

初項 $a = 1$, 公差 $d = 3$, 末項 $l = 97$ である。

まず、項数 $n$ を求める。

$a_n = a + (n-1)d$ より、

$97 = 1 + (n-1)3$

$96 = 3(n-1)$

$32 = n-1$

$n = 33$

よって、項数は $33$。

等差数列の和の公式 $S_n = \frac{n(a + l)}{2}$ より、

$S_{33} = \frac{33(1 + 97)}{2} = \frac{33 \cdot 98}{2} = 33 \cdot 49 = 1617$

2) 初項 $200$, 公差 $-5$ の等差数列の初項から第 $100$ 項までの和を求める。

初項 $a = 200$, 公差 $d = -5$, 項数 $n = 100$ である。

第 $100$ 項 $a_{100}$ は、

$a_{100} = a + (100-1)d = 200 + 99(-5) = 200 - 495 = -295$

等差数列の和の公式 $S_n = \frac{n(a + a_n)}{2}$ より、

$S_{100} = \frac{100(200 + (-295))}{2} = \frac{100(-95)}{2} = 50(-95) = -4750$

3) 第 $8$ 項が $37$, 第 $24$ 項が $117$ の等差数列の第 $20$ 項から第 $50$ 項までの和を求める。

$a_8 = 37, a_{24} = 117$

$a_8 = a + 7d = 37$

$a_{24} = a + 23d = 117$

$a + 23d - (a + 7d) = 117 - 37$

$16d = 80$

$d = 5$

$a + 7(5) = 37$

$a + 35 = 37$

$a = 2$

よって、初項 $a = 2$, 公差 $d = 5$

第 $20$ 項 $a_{20} = a + 19d = 2 + 19(5) = 2 + 95 = 97$

第 $50$ 項 $a_{50} = a + 49d = 2 + 49(5) = 2 + 245 = 247$

第 $20$ 項から第 $50$ 項までの項数は $50 - 20 + 1 = 31$

等差数列の和の公式 $S_n = \frac{n(a_{20} + a_{50})}{2}$ より、

$S = \frac{31(97 + 247)}{2} = \frac{31 \cdot 344}{2} = 31 \cdot 172 = 5332$

3. 最終的な答え

1) $1617$

2) $-4750$

3) $5332$