与えられた順列、階乗、組合せの値を計算する問題です。具体的には、以下の4つの計算を行います。 (1) $_8P_5$ (2) $_{20}P_2$ (3) $7!$ (4) $_8C_4$

1. 問題の内容

与えられた順列、階乗、組合せの値を計算する問題です。具体的には、以下の4つの計算を行います。

(1) $_8P_5$

(2) $_{20}P_2$

(3) $7!$

(4) $_8C_4$

2. 解き方の手順

(1) 順列 $_8P_5$ の計算:

順列の公式は $_nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ です。この公式に $n=8$、$r=5$ を代入します。

$_8P_5 = \frac{8!}{(8-5)!} = \frac{8!}{3!} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 6720$

(2) 順列 $_{20}P_2$ の計算:

順列の公式は $_nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ です。この公式に $n=20$、$r=2$ を代入します。

$_{20}P_2 = \frac{20!}{(20-2)!} = \frac{20!}{18!} = 20 \times 19 = 380$

(3) 階乗 $7!$ の計算:

階乗の定義は $n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1$ です。

$7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$

(4) 組合せ $_8C_4$ の計算:

組合せの公式は $_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ です。この公式に $n=8$、$r=4$ を代入します。

$_8C_4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{1680}{24} = 70$

3. 最終的な答え

(1) $_8P_5 = 6720$

(2) $_{20}P_2 = 380$

(3) $7! = 5040$

(4) $_8C_4 = 70$