与えられた順列（P）と組み合わせ（C）、階乗の計算問題を解く。具体的には、以下の5つの値を求める。 (1) $8P_5$ (2) ${}_{20}P_2$ (3) $7!$ (4) ${}_8C_4$ (5) ${}_{10}C_8$

1. 問題の内容

与えられた順列（P）と組み合わせ（C）、階乗の計算問題を解く。具体的には、以下の5つの値を求める。

(1) $8P_5$

(2) ${}_{20}P_2$

(3) $7!$

(4) ${}_8C_4$

(5) ${}_{10}C_8$

2. 解き方の手順

(1) $8P_5$ の計算

順列 $nP_r$ は、n個のものからr個を選んで並べる場合の数を表し、$nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$で計算できる。

$8P_5 = \frac{8!}{(8-5)!} = \frac{8!}{3!} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 6720$

(2) ${}_{20}P_2$ の計算

${}_{20}P_2 = \frac{20!}{(20-2)!} = \frac{20!}{18!} = 20 \times 19 = 380$

(3) $7!$ の計算

階乗 $n!$ は、1からnまでの整数の積を表す。

$7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$

(4) ${}_8C_4$ の計算

組み合わせ $nC_r$ は、n個のものからr個を選ぶ場合の数を表し、$nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$で計算できる。

${}_8C_4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$

(5) ${}_{10}C_8$ の計算

${}_{10}C_8 = \frac{10!}{8!(10-8)!} = \frac{10!}{8!2!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$

3. 最終的な答え

(1) $8P_5 = 6720$

(2) ${}_{20}P_2 = 380$

(3) $7! = 5040$

(4) ${}_8C_4 = 70$

(5) ${}_{10}C_8 = 45$