1個のサイコロを投げたときの出た目の数を確率変数 $X$ とし、$X$ の確率分布が与えられている。このとき、$E(X)$, $E(X^2)$, $V(X)$, $\sigma(X)$ を求める問題である。

1. 問題の内容

1個のサイコロを投げたときの出た目の数を確率変数 $X$ とし、$X$ の確率分布が与えられている。このとき、$E(X)$, $E(X^2)$, $V(X)$, $\sigma(X)$ を求める問題である。

2. 解き方の手順

まず、$E(X)$ を求める。$E(X)$ は期待値であり、各値とその確率の積の総和で計算される。

$E(X) = \sum_{i=1}^{6} x_i P(X=x_i) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6}$

$E(X) = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$

次に、$E(X^2)$ を求める。

$E(X^2) = \sum_{i=1}^{6} x_i^2 P(X=x_i) = 1^2 \cdot \frac{1}{6} + 2^2 \cdot \frac{1}{6} + 3^2 \cdot \frac{1}{6} + 4^2 \cdot \frac{1}{6} + 5^2 \cdot \frac{1}{6} + 6^2 \cdot \frac{1}{6}$

$E(X^2) = \frac{1+4+9+16+25+36}{6} = \frac{91}{6}$

次に、$V(X)$ を求める。$V(X)$ は分散であり、$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ で計算される。

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{91}{6} - (\frac{7}{2})^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12}$

最後に、$\sigma(X)$ を求める。$\sigma(X)$ は標準偏差であり、分散の正の平方根である。

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{\frac{35}{12}} = \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{12}} = \frac{\sqrt{35}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{35}\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{105}}{6}$

3. 最終的な答え

E(X) = 7/2

E(X^2) = 91/6

V(X) = 35/12

$\sigma(X) = \frac{\sqrt{105}}{6}$