確率変数 $X$ の確率密度関数 $f(x)$ が与えられたとき、指定された範囲における確率を計算します。 (1) $f(x) = x$ ($0 \le x \le \sqrt{2}$) のとき、$0 \le X \le 0.5$ である確率 (2) $f(x) = 0.5x$ ($0 \le x \le 2$) のとき、$1 \le X \le 2$ である確率

はい、承知いたしました。問題を解きます。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ の確率密度関数 $f(x)$ が与えられたとき、指定された範囲における確率を計算します。

(1) $f(x) = x$ ($0 \le x \le \sqrt{2}$) のとき、$0 \le X \le 0.5$ である確率

(2) $f(x) = 0.5x$ ($0 \le x \le 2$) のとき、$1 \le X \le 2$ である確率

2. 解き方の手順

確率密度関数 $f(x)$ が与えられたとき、$a \le X \le b$ である確率は、$\int_{a}^{b} f(x) dx$ で計算できます。

(1) $f(x) = x$ の場合、求める確率は

$\int_{0}^{0.5} x dx$

となります。

$\int_{0}^{0.5} x dx = [\frac{1}{2}x^2]_{0}^{0.5} = \frac{1}{2}(0.5)^2 - \frac{1}{2}(0)^2 = \frac{1}{2} \times 0.25 = 0.125$

(2) $f(x) = 0.5x$ の場合、求める確率は

$\int_{1}^{2} 0.5x dx$

となります。

$\int_{1}^{2} 0.5x dx = [0.5 \times \frac{1}{2}x^2]_{1}^{2} = [0.25x^2]_{1}^{2} = 0.25(2^2) - 0.25(1^2) = 0.25 \times 4 - 0.25 \times 1 = 1 - 0.25 = 0.75$

3. 最終的な答え

(1) $0 \le X \le 0.5$ である確率は $0.125$ です。

(2) $1 \le X \le 2$ である確率は $0.75$ です。