1個のサイコロを5回投げ、2以下の目が出る回数をXとする。 (1) Xがどのような二項分布に従うか答えよ。 (2) $P(X=2)$を求めよ。 (3) $P(X=5)$を求めよ。 (4) $P(2 \le X \le 4)$を求めよ。

1. 問題の内容

1個のサイコロを5回投げ、2以下の目が出る回数をXとする。

(1) Xがどのような二項分布に従うか答えよ。

(2) $P(X=2)$を求めよ。

(3) $P(X=5)$を求めよ。

(4) $P(2 \le X \le 4)$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) サイコロを1回投げて2以下の目が出る確率は$1/3$。よって、Xは二項分布$B(5, 1/3)$に従う。

(2) 二項分布の確率の公式より、$P(X=k) = {}_n C_k p^k (1-p)^{n-k}$である。

$P(X=2) = {}_5 C_2 (1/3)^2 (2/3)^3$

${}_5 C_2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

$P(X=2) = 10 \times \frac{1}{9} \times \frac{8}{27} = \frac{80}{243}$

(3) $P(X=5) = {}_5 C_5 (1/3)^5 (2/3)^0 = 1 \times \frac{1}{243} \times 1 = \frac{1}{243}$

(4) $P(2 \le X \le 4) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)$

$P(X=3) = {}_5 C_3 (1/3)^3 (2/3)^2 = 10 \times \frac{1}{27} \times \frac{4}{9} = \frac{40}{243}$

$P(X=4) = {}_5 C_4 (1/3)^4 (2/3)^1 = 5 \times \frac{1}{81} \times \frac{2}{3} = \frac{10}{243}$

$P(2 \le X \le 4) = \frac{80}{243} + \frac{40}{243} + \frac{10}{243} = \frac{130}{243}$

3. 最終的な答え

(1) 二項分布$B(5, 1/3)$

(2) $P(X=2) = \frac{80}{243}$

(3) $P(X=5) = \frac{1}{243}$

(4) $P(2 \le X \le 4) = \frac{130}{243}$