$\frac{77}{111}$ を小数で表したとき、小数第 $n$ 位にあらわれる数字を $a_n$ とします。$a_n$ を $n$ を用いた1つの式で表しなさい。

1. 問題の内容

$\frac{77}{111}$ を小数で表したとき、小数第 $n$ 位にあらわれる数字を $a_n$ とします。$a_n$ を $n$ を用いた1つの式で表しなさい。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{77}{111}$ を小数で表します。

$\frac{77}{111} = \frac{7 \times 11}{3 \times 37} = \frac{7}{3} \times \frac{11}{37}$ となります。

直接計算しても良いですが、以下のように計算することもできます。

$\frac{77}{111} = \frac{7 \times 11}{3 \times 37} = 7 \times \frac{1}{111} \times 11 = 77 \times \frac{1}{111}$

$\frac{1}{111}$ は、小数で表すと $0.009009009\dots = 0.\overline{009}$ となります。

したがって、

$\frac{77}{111} = 77 \times 0.\overline{009} = 77 \times \frac{1}{111} = \frac{77}{111}$

$\frac{77}{111} = 0.693693693\dots = 0.\overline{693}$ となります。

小数第 $n$ 位の数字 $a_n$ は、循環小数 $0.\overline{693}$ の数字が繰り返されるため、以下のように求められます。

$n$ を3で割った余りを考えます。

- $n \equiv 1 \pmod{3}$ のとき、$a_n = 6$

- $n \equiv 2 \pmod{3}$ のとき、$a_n = 9$

- $n \equiv 0 \pmod{3}$ のとき、$a_n = 3$

これを一つの式で表すのは難しいですが、場合分けで答えます。

3. 最終的な答え

$a_n = \begin{cases} 6 & (n \equiv 1 \pmod{3}) \\ 9 & (n \equiv 2 \pmod{3}) \\ 3 & (n \equiv 0 \pmod{3}) \end{cases}$