関数 $y = 4^x - 6 \cdot 2^x + 10$ について、$1 < x \le 2$ とする。 (1) $X = 2^x$ とおいたとき、$X$ のとりうる値の範囲を求める。 (2) $y$ を (1) の $X$ を用いた式で表す。 (3) $y$ の最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = 4^x - 6 \cdot 2^x + 10$ について、$1 < x \le 2$ とする。

(1) $X = 2^x$ とおいたとき、$X$ のとりうる値の範囲を求める。

(2) $y$ を (1) の $X$ を用いた式で表す。

(3) $y$ の最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $X = 2^x$ であり、$1 < x \le 2$ であるから、$2^1 < 2^x \le 2^2$ となる。

したがって、$2 < X \le 4$ である。

(2) $y = 4^x - 6 \cdot 2^x + 10 = (2^x)^2 - 6 \cdot 2^x + 10$ である。

$X = 2^x$ より、$y = X^2 - 6X + 10$ となる。

これを平方完成すると、$y = (X - 3)^2 - 9 + 10 = (X - 3)^2 + 1$ となる。

(3) $y = (X - 3)^2 + 1$ であり、$2 < X \le 4$ である。

$X = 3$ のとき最小値 $1$ をとり、$X = 4$ のとき最大値 $(4 - 3)^2 + 1 = 2$ をとる。

$X = 4$ のとき、$2^x = 4$ より、$x = 2$ である。

$X = 3$ のとき、$2^x = 3$ より、$x = \log_2 3$ である。

3. 最終的な答え

(1) $2 < X \le 4$

(2) $y = (X - 3)^2 + 1$

(3) $x = 2$ のとき、最大値 $2$ をとる。

$x = \log_2 3$ のとき、最小値 $1$ をとる。