次の数が自然数になるような最小の自然数 $n$ を求めます。 (1) $\sqrt{540n}$ (2) $\sqrt{756n}$ (3) $\sqrt{\frac{264}{n}}$ (4) $\sqrt{\frac{936}{n}}$

## 問題115

1. 問題の内容

次の数が自然数になるような最小の自然数 $n$ を求めます。

(1) $\sqrt{540n}$

(2) $\sqrt{756n}$

(3) $\sqrt{\frac{264}{n}}$

(4) $\sqrt{\frac{936}{n}}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{540n}$ が自然数になるためには、$540n$ が平方数になる必要があります。$540$ を素因数分解すると $540 = 2^2 \times 3^3 \times 5$ です。したがって、$n$ は $3 \times 5 = 15$ の倍数である必要があります。最小の $n$ は $n = 15$ です。

(2) $\sqrt{756n}$ が自然数になるためには、$756n$ が平方数になる必要があります。$756$ を素因数分解すると $756 = 2^2 \times 3^3 \times 7$ です。したがって、$n$ は $3 \times 7 = 21$ の倍数である必要があります。最小の $n$ は $n = 21$ です。

(3) $\sqrt{\frac{264}{n}}$ が自然数になるためには、$\frac{264}{n}$ が平方数になる必要があります。$264$ を素因数分解すると $264 = 2^3 \times 3 \times 11$ です。したがって、$n$ は $2 \times 3 \times 11 = 66$ または $2^3 \times 3 \times 11=264$ の約数である必要があります。また、$\frac{264}{n}$ は平方数なので、$n = 66$ のとき $\sqrt{\frac{264}{66}} = \sqrt{4} = 2$ となり、$n = 264$ のとき $\sqrt{\frac{264}{264}} = \sqrt{1} = 1$ となります。最小の $n$ を求めるので $n = 66$ を確認します。$n$が $66$ より小さい場合、$n$ は $2, 3, 6, 11, 22, 33$ のいずれかになります。これらのとき、$\frac{264}{n}$ が平方数になることはありません。したがって、最小の $n$ は $n = 66$ です。

(4) $\sqrt{\frac{936}{n}}$ が自然数になるためには、$\frac{936}{n}$ が平方数になる必要があります。$936$ を素因数分解すると $936 = 2^3 \times 3^2 \times 13$ です。したがって、$n$ は $2 \times 13 = 26$ または $2^3 \times 3^2 \times 13=936$ の約数である必要があります。また、$\frac{936}{n}$ は平方数なので、$n = 26$ のとき $\sqrt{\frac{936}{26}} = \sqrt{36} = 6$ となり、$n = 2 \times 13=26$,　$n = 2^3 \times 3^2 \times 13=936$ のとき $\sqrt{\frac{936}{936}} = \sqrt{1} = 1$ となります。最小の $n$ を求めるので $n = 26$ を確認します。$n$が $26$ より小さい場合、$n$ は $2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 13, 18, 24$ のいずれかになります。これらのとき、$\frac{936}{n}$ が平方数になることはありません。したがって、最小の $n$ は $n = 26$ です。

3. 最終的な答え

(1) 15

(2) 21

(3) 66

(4) 26

## 問題116

1. 問題の内容

(1) $n$ が自然数のとき、$\sqrt{24n}$ が $100$ より大きくなるような整数のうち、最小のものを求めます。

(2) $\frac{15}{2n+1}$ が正の整数となるような正の整数 $n$ をすべて求めます。

(3) $24^{10}$ が $2^n$ で割り切れるような正の整数 $n$ のうち、最大のものを求めます。

(4) 108個の分数 $\frac{k}{108}$ ($k = 1, 2, 3, ..., 108$) のうち、既約分数であるものの個数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{24n} > 100$ より、$24n > 10000$。したがって、$n > \frac{10000}{24} = \frac{1250}{3} = 416.66...$ 。$n$ は整数なので、最小の $n$ は $417$ です。

(2) $\frac{15}{2n+1}$ が正の整数となるためには、$2n+1$ は $15$ の約数である必要があります。$15$ の約数は $1, 3, 5, 15$ です。

- $2n+1 = 1$ のとき、$2n = 0$ より $n = 0$ となりますが、$n$ は正の整数なので不適。

- $2n+1 = 3$ のとき、$2n = 2$ より $n = 1$。

- $2n+1 = 5$ のとき、$2n = 4$ より $n = 2$。

- $2n+1 = 15$ のとき、$2n = 14$ より $n = 7$。

したがって、求める $n$ は $1, 2, 7$ です。

(3) $24^{10} = (2^3 \times 3)^{10} = 2^{30} \times 3^{10}$ です。$24^{10}$ が $2^n$ で割り切れるとき、$n \le 30$ でなければなりません。したがって、最大の $n$ は $30$ です。

(4) $\frac{k}{108}$ が既約分数であるためには、$k$ と $108$ が互いに素である必要があります。$108 = 2^2 \times 3^3$ なので、$k$ は $2$ の倍数でも $3$ の倍数でもあってはなりません。

$1$ から $108$ までの整数のうち、$2$ の倍数は $\frac{108}{2} = 54$ 個、$3$ の倍数は $\frac{108}{3} = 36$ 個、$6$ の倍数（$2$ と $3$ の公倍数）は $\frac{108}{6} = 18$ 個です。

$2$ または $3$ の倍数の個数は $54 + 36 - 18 = 72$ 個です。

したがって、$2$ と $3$ のどちらの倍数でもない整数の個数は $108 - 72 = 36$ 個です。

3. 最終的な答え

(1) 417

(2) 1, 2, 7

(3) 30

(4) 36