問題は3つのケースについて、集合 $A$ と集合 $B$ の共通部分 $A \cap B$ と和集合 $A \cup B$ を求めるものです。

1. 問題の内容

問題は3つのケースについて、集合 $A$ と集合 $B$ の共通部分 $A \cap B$ と和集合 $A \cup B$ を求めるものです。

2. 解き方の手順

(1) $A = \{1, 3, 5, 7\}$、$B = \{0, 1, 2, 3\}$ の場合:

$A \cap B$ は $A$ と $B$ の両方に含まれる要素の集合です。この場合、$1$ と $3$ が両方に含まれています。

$A \cup B$ は $A$ と $B$ の少なくとも一方に含まれる要素の集合です。$A$ と $B$ のすべての要素を重複なく含めます。

(2) $A = \{n \mid n \text{ は18の正の約数}\}$、$B = \{n \mid n \text{ は27の正の約数}\}$ の場合:

まず、$A$ と $B$ の要素を書き出します。

18の正の約数は $1, 2, 3, 6, 9, 18$ なので、$A = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$ です。

27の正の約数は $1, 3, 9, 27$ なので、$B = \{1, 3, 9, 27\}$ です。

$A \cap B$ は $A$ と $B$ の両方に含まれる要素の集合です。この場合、$1, 3, 9$ が両方に含まれています。

$A \cup B$ は $A$ と $B$ の少なくとも一方に含まれる要素の集合です。$A$ と $B$ のすべての要素を重複なく含めます。

(3) $A = \{2n+1 \mid 0 \leq n \leq 6, n \text{ は整数}\}$、$B = \{3n+1 \mid 0 \leq n \leq 4, n \text{ は整数}\}$ の場合:

まず、$A$ と $B$ の要素を書き出します。

$A$ は $n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ に対する $2n+1$ の値の集合なので、$A = \{1, 3, 5, 7, 9, 11, 13\}$ です。

$B$ は $n = 0, 1, 2, 3, 4$ に対する $3n+1$ の値の集合なので、$B = \{1, 4, 7, 10, 13\}$ です。

$A \cap B$ は $A$ と $B$ の両方に含まれる要素の集合です。この場合、$1, 7, 13$ が両方に含まれています。

$A \cup B$ は $A$ と $B$ の少なくとも一方に含まれる要素の集合です。$A$ と $B$ のすべての要素を重複なく含めます。

3. 最終的な答え

(1)

$A \cap B = \{1, 3\}$

$A \cup B = \{0, 1, 2, 3, 5, 7\}$

(2)

$A \cap B = \{1, 3, 9\}$

$A \cup B = \{1, 2, 3, 6, 9, 18, 27\}$

(3)

$A \cap B = \{1, 7, 13\}$

$A \cup B = \{1, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 11, 13\}$