与えられた式 $(a-b)x^2 + (9b-9a)y^2$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a-b)x^2 + (9b-9a)y^2$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、第2項の $(9b-9a)$ から $9$ をくくり出すと、

$9(b-a)$

となります。次に、$b-a = -(a-b)$ なので、

$9(b-a) = -9(a-b)$

となります。与えられた式に代入すると、

$(a-b)x^2 + (9b-9a)y^2 = (a-b)x^2 - 9(a-b)y^2$

となります。ここで、$(a-b)$ が共通因数なので、これをくくり出すと、

$(a-b)x^2 - 9(a-b)y^2 = (a-b)(x^2 - 9y^2)$

となります。さらに、$x^2 - 9y^2$ は $x^2 - (3y)^2$ と見なせるので、二乗の差の公式を使って因数分解できます。二乗の差の公式は $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ なので、$x^2 - (3y)^2 = (x+3y)(x-3y)$ となります。したがって、元の式は

$(a-b)(x^2 - 9y^2) = (a-b)(x+3y)(x-3y)$

と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(a-b)(x+3y)(x-3y)$