以下の連立方程式を解く問題です。 $ \begin{cases} \cos x = \cos y \\ \sin 3x = \cos 2y \end{cases} $

1. 問題の内容

以下の連立方程式を解く問題です。

$$

\begin{cases}

\cos x = \cos y \\

\sin 3x = \cos 2y

\end{cases}

$$

2. 解き方の手順

まず、$\cos x = \cos y$ という条件から、$x = \pm y + 2n\pi$ (n は整数) が得られます。

次に、$\sin 3x = \cos 2y$ という条件を考えます。$\cos 2y = \sin(\frac{\pi}{2} - 2y)$ なので、$\sin 3x = \sin(\frac{\pi}{2} - 2y)$ と書き換えられます。

$\sin A = \sin B$ ならば、$A = B + 2n\pi$ または $A = \pi - B + 2n\pi$ (n は整数) です。

したがって、

$3x = \frac{\pi}{2} - 2y + 2n\pi$ または $3x = \pi - (\frac{\pi}{2} - 2y) + 2n\pi = \frac{\pi}{2} + 2y + 2n\pi$ が得られます。

(1) $x = y + 2n\pi$ のとき

$3(y + 2n\pi) = \frac{\pi}{2} - 2y + 2m\pi$ より、$5y = \frac{\pi}{2} + 2(m-3n)\pi$

$3(y + 2n\pi) = \frac{\pi}{2} + 2y + 2m\pi$ より、$y = \frac{\pi}{2} + 2(m-3n)\pi$

(2) $x = -y + 2n\pi$ のとき

$3(-y + 2n\pi) = \frac{\pi}{2} - 2y + 2m\pi$ より、$-y = \frac{\pi}{2} + 2(m-3n)\pi$ つまり $y = -\frac{\pi}{2} + 2(3n-m)\pi$

$3(-y + 2n\pi) = \frac{\pi}{2} + 2y + 2m\pi$ より、$-5y = \frac{\pi}{2} + 2(m-3n)\pi$ つまり $y = -\frac{\pi}{10} + \frac{2}{5}(3n-m)\pi$

簡単にするために、$n=0$，$m=0$ の場合を考えると、

(1) $x = y$ のとき、$5y = \frac{\pi}{2}$ つまり $y = \frac{\pi}{10}$、$x = \frac{\pi}{10}$

$y = \frac{\pi}{2}$、$x = \frac{\pi}{2}$

(2) $x = -y$ のとき、$y = -\frac{\pi}{2}$、$x = \frac{\pi}{2}$

$y = -\frac{\pi}{10}$、$x = \frac{\pi}{10}$

したがって、簡単な解として $x = \frac{\pi}{10}, y = \frac{\pi}{10}$ が得られます。これを元の式に代入すると、

$\cos \frac{\pi}{10} = \cos \frac{\pi}{10}$

$\sin \frac{3\pi}{10} = \cos \frac{2\pi}{10} = \cos \frac{\pi}{5}$

$\sin \frac{3\pi}{10} = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{10}) = \sin \frac{2\pi}{10} = \sin \frac{\pi}{5}$ と $\cos \frac{\pi}{5}$ は異なるので、$x = \frac{\pi}{10}, y = \frac{\pi}{10}$ は解ではありません。

3. 最終的な答え

一般解を求めるのは難しいですが、具体的な解を求めることは可能です。

上記は解き方の一例であり、これだけで全ての解を網羅しているわけではありません。

問題文に具体的な条件（例えば $x, y$ の範囲など）がなければ、一般的な解を求めるのは困難です。