$x \geq 0$ のとき、次の不等式を証明する問題です。 $x^3 - 3x^2 + 4 \geq 0$

1. 問題の内容

$x \geq 0$ のとき、次の不等式を証明する問題です。

$x^3 - 3x^2 + 4 \geq 0$

2. 解き方の手順

$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ とおきます。

まずは、$f(x)$ を因数分解します。$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + 4 = -1 - 3 + 4 = 0$ であるため、$f(x)$ は $(x+1)$ を因数に持ちます。

実際に割り算を行うと、

$x^3 - 3x^2 + 4 = (x+1)(x^2 - 4x + 4) = (x+1)(x-2)^2$

となります。

したがって、$f(x) = (x+1)(x-2)^2$ です。

$x \geq 0$ のとき、$x+1 \geq 1 > 0$ であり、$(x-2)^2 \geq 0$ です。

よって、$f(x) = (x+1)(x-2)^2 \geq 0$ が成立します。

3. 最終的な答え

$x \geq 0$ のとき、$x^3 - 3x^2 + 4 \geq 0$ が証明されました。