第3項が70、第8項が55である等差数列$\{a_n\}$について、以下の2つの問いに答える。 (ア) この数列の一般項を求めよ。 (イ) 19は何項か。また、第何項が初めて負の数になるか。

1. 問題の内容

第3項が70、第8項が55である等差数列$\{a_n\}$について、以下の2つの問いに答える。

(ア) この数列の一般項を求めよ。

(イ) 19は何項か。また、第何項が初めて負の数になるか。

2. 解き方の手順

(ア)

等差数列の一般項は $a_n = a_1 + (n-1)d$ で表される。ここで、$a_1$ は初項、$d$ は公差である。

問題文より、$a_3 = 70$、$a_8 = 55$ である。

したがって、

$a_3 = a_1 + 2d = 70$

$a_8 = a_1 + 7d = 55$

この2つの式を連立方程式として解く。

下の式から上の式を引くと、

$5d = -15$

$d = -3$

これを $a_1 + 2d = 70$ に代入すると、

$a_1 + 2(-3) = 70$

$a_1 - 6 = 70$

$a_1 = 76$

したがって、一般項は

$a_n = 76 + (n-1)(-3)$

$a_n = 76 - 3n + 3$

$a_n = 79 - 3n$

(イ)

19が第何項かを求める。$a_n = 19$ となる $n$ を求める。

$19 = 79 - 3n$

$3n = 60$

$n = 20$

したがって、19は第20項である。

次に、初めて負の数になる項を求める。$a_n < 0$ となる最小の $n$ を求める。

$79 - 3n < 0$

$79 < 3n$

$n > \frac{79}{3} = 26.333...$

したがって、初めて負の数になるのは第27項である。

3. 最終的な答え

(ア) 一般項: $a_n = 79 - 3n$

(イ) 19は第20項。初めて負の数になるのは第27項。