P, Q, R, S, Tの5人が横一列に並んで写真を撮る。PもQも端にならないように並ぶとき、5人の並び方は何通りあるか。

1. 問題の内容

P, Q, R, S, Tの5人が横一列に並んで写真を撮る。PもQも端にならないように並ぶとき、5人の並び方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

まず、5人全員が自由に並ぶ場合の数を計算します。これは5の階乗、すなわち $5!$ で求められます。

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

次に、PまたはQが端にいる場合の数を計算し、全体から引くことで、PもQも端にいない場合の数を求めます。

PとQが端にいないということは、PとQは真ん中の3つの場所(2,3,4番目)のいずれかに配置される必要があります。

まずP, Qが端にいる場合の数を計算する。

1. Pが端にいる場合：

Pが端にいる場所は2通り。残りの4つの場所には、Q, R, S, Tが自由に並べるので、4! = 24通り。したがって、Pが端にいる並び方は $2 \times 24 = 48$通り。

2. Qが端にいる場合：

同様に、Qが端にいる場所は2通り。残りの4つの場所には、P, R, S, Tが自由に並べるので、4! = 24通り。したがって、Qが端にいる並び方は $2 \times 24 = 48$通り。

3. PとQが両方とも端にいる場合:

PとQが両方とも端にいる並び方を重複して引いてしまったので、それを足し戻す必要がある。

Pが端にいる場所は2通り。Pの位置が決まれば、Qの場所はもう片方の端に固定されるので1通り。残りのR, S, Tは真ん中の3か所に自由に並ぶので、3! = 6通り。したがってP,Qが両方端にいる場合は$2 \times 1 \times 6 = 12$通り。

PまたはQが端にいる並び方は $48 + 48 - 12 = 84$通り。

PもQも端にいない並び方は、全体からPまたはQが端にいる場合を引けばよい。

$120 - 84 = 36$通り。

しかし、別の考え方で計算することもできる。PとQは中央の3つの席のどれかに座るので、PとQの席の選び方は $_3P_2 = 3 \times 2 = 6$通り。そして、残りの3人は残りの3つの席に自由に座るので、3! = $3 \times 2 \times 1 = 6$通り。よって、並び方は$6 \times 6 = 36$通り。

3. 最終的な答え

36通り