4人の人を3つの部屋A, B, Cに入れる。各部屋には少なくとも1人は入るものとする場合、全部で何通りの分け方があるか。

1. 問題の内容

4人の人を3つの部屋A, B, Cに入れる。各部屋には少なくとも1人は入るものとする場合、全部で何通りの分け方があるか。

2. 解き方の手順

まず、4人を3つのグループに分ける方法を考えます。各グループに少なくとも1人は必要なので、分け方は以下の2パターンしかありません。

* 1人、1人、2人

* 1人、2人、1人

* 2人、1人、1人

しかし、これらは部屋の区別がない場合なので、部屋の区別を考慮する必要があります。

1. 1人、1人、2人の場合：

4人の中から2人を選ぶ方法は $_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = 6$ 通りです。

残りの2人から1人ずつ選びます。$_2C_1=2$通り。しかし、1人、1人の部屋の区別はないので、2で割る必要があります。$_2C_1 / 2 = 1$通り。

従って、4人を1人、1人、2人のグループに分ける方法は6通りです。

次に、この3つのグループをA, B, Cの部屋に割り当てる方法は3!/2! = 3通りです。部屋の区別があるので、3! = 6通りですが、1人、1人、2人という分け方のため、同じ人数の部屋の並び順を考慮して、2!で割っています。よって、6 * 3 = 18通り。

2. 人数が固定されていると考えれば、4人を1人、1人、2人の3つの組に分ける分け方は $_4C_2 \times _2C_1 \times _1C_1 / 2! = 6 \times 2 \times 1 / 2 = 6$ 通り。

その後、3つの組を部屋A, B, Cに割り振る方法は 3! = 6 通り。

よって、全体の分け方は 6 * 6 = 36通り。

あるいは、4人の中から2人を選び部屋Cに入れる方法が $_4C_2=6$通り。

残りの2人を部屋A, Bに振り分ける方法は2通り。

よって、6 * 2 = 12通り。

部屋A, B, Cの区別があるので、

1人、1人、2人の場合：

Aに2人、Bに1人、Cに1人

Aに1人、Bに2人、Cに1人

Aに1人、Bに1人、Cに2人

の3通りがあります。

よって、12 * 3 = 36通り。

3. 最終的な答え

36