1から8の数字が書かれた8個の玉があります。その中から2個の玉を選び箱Aに入れ、次に残りの玉から2個を選び箱Bに入れ、最後に残りの玉から2個を選び箱Cに入れます。 (1) 箱Aに入れる玉の選び方は全部で何通りあるか。 (2) 3つの箱への玉の入れ方は全部で何通りあるか。また、このうち、箱Aと箱Bには5以下の数が書かれた玉だけを、箱Cには6以上の数が書かれた玉だけを入れるような入れ方は全部で何通りあるか。 (3) 箱A, B, Cそれぞれに入れる2個の玉に書かれた数の和を順にa, b, cとする。a, b, cがすべて偶数となるような入れ方は全部で何通りあるか。また、a, b, cのうち、少なくとも1つが偶数となるような入れ方は全部で何通りあるか。

1. 問題の内容

1から8の数字が書かれた8個の玉があります。その中から2個の玉を選び箱Aに入れ、次に残りの玉から2個を選び箱Bに入れ、最後に残りの玉から2個を選び箱Cに入れます。

(1) 箱Aに入れる玉の選び方は全部で何通りあるか。

(2) 3つの箱への玉の入れ方は全部で何通りあるか。また、このうち、箱Aと箱Bには5以下の数が書かれた玉だけを、箱Cには6以上の数が書かれた玉だけを入れるような入れ方は全部で何通りあるか。

(3) 箱A, B, Cそれぞれに入れる2個の玉に書かれた数の和を順にa, b, cとする。a, b, cがすべて偶数となるような入れ方は全部で何通りあるか。また、a, b, cのうち、少なくとも1つが偶数となるような入れ方は全部で何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 箱Aに入れる玉の選び方

8個の玉から2個を選ぶ組み合わせなので、$_8C_2$ を計算します。

$_8C_2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$

(2) 3つの箱への玉の入れ方

まず、箱Aに入れる玉の選び方は $_8C_2 = 28$通り。

次に、残りの6個から箱Bに入れる玉の選び方は $_6C_2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$通り。

最後に、残りの4個から箱Cに入れる玉の選び方は $_4C_2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通り。

よって、3つの箱への玉の入れ方は $28 \times 15 \times 6 = 2520$通り。

次に、箱Aと箱Bには5以下の数、箱Cには6以上の数を入れる場合を考えます。

5以下の数は1, 2, 3, 4, 5の5個、6以上の数は6, 7, 8の3個です。

箱Aと箱Bには5以下の数から2個ずつ選ぶので、箱Aの選び方は $_5C_2 = \frac{5 \times 4}{2} = 10$通り。

箱Bの選び方も、残りの3個から2個を選ぶので $_3C_2 = \frac{3 \times 2}{2} = 3$通り。

箱Cには6, 7, 8から2個を選ぶので $_3C_2 = \frac{3 \times 2}{2} = 3$通り。

よって、箱Aと箱Bには5以下の数、箱Cには6以上の数を入れる入れ方は $10 \times 3 \times 1 = 30$通り。（箱Aと箱Bを選んだ後、箱Cの選び方は自動的に決まる）

(3) a, b, cがすべて偶数となるような入れ方

a, b, cはそれぞれ箱A, B, Cに入れた2つの玉の数の和です。

a, b, cがすべて偶数となるためには、それぞれの箱に入れる2つの玉がともに偶数か、ともに奇数である必要があります。

1から8の数字のうち、偶数は2, 4, 6, 8の4個、奇数は1, 3, 5, 7の4個です。

箱A, B, Cすべてで2個とも偶数を選ぶ場合：$_4C_2 \times _2C_2 \times _0C_2 = 6 \times 1 \times 0 = 0$通り。（これは起こりえない。）

箱A, B, Cすべてで2個とも奇数を選ぶ場合：$_4C_2 \times _2C_2 \times _0C_2 = 6 \times 1 \times 0 = 0$通り。（これも起こりえない。）

偶数と奇数の組み合わせ：箱Aで偶数奇数、箱Bで偶数奇数、箱Cで偶数奇数という組み合わせはありえません。なぜなら、合計で8個の玉を使い切る必要があるからです。

したがって、a, b, cがすべて偶数となるような入れ方は0通りです。

a, b, cのうち、少なくとも1つが偶数となる入れ方

a, b, cがすべて奇数となる場合の数を求めます。和が奇数となるためには、箱に入れる2つの玉の組み合わせが、偶数と奇数でなければなりません。

箱A, B, Cすべてで偶数と奇数を選ぶ場合を考えます。

箱Aでは偶数4個から1個、奇数4個から1個を選ぶので $4 \times 4 = 16$通り。

箱Bでは偶数3個から1個、奇数3個から1個を選ぶので $3 \times 3 = 9$通り。

箱Cでは偶数2個から1個、奇数2個から1個を選ぶので $2 \times 2 = 4$通り。

したがって、a, b, cがすべて奇数となるような入れ方は $16 \times 9 \times 4 = 576$通り。

全体の入れ方は2520通りなので、少なくとも1つが偶数となる入れ方は $2520 - 576 = 1944$通り。

3. 最終的な答え

(1) 28通り

(2) 2520通り, 30通り

(3) 0通り, 1944通り