(1) 標準正規分布に従う確率変数 $Z$ について、$P(Z \le \alpha) = 0.901$, $P(|Z| \le \beta) = 0.950$, $P(Z \ge \gamma) = 0.990$ を満たす $\alpha, \beta, \gamma$ を選択肢から選ぶ。 (2) 標本サイズ $n=400$ で標本平均 $\overline{X} = 72.3$, 標本標準偏差 $\sigma = 8.0$ のとき、母平均 $m$ の信頼度 $90.1\%$, $95.0\%$, $99.0\%$ の信頼区間をそれぞれ $C_1 \le m \le C_2$, $D_1 \le m \le D_2$, $E_1 \le m \le E_2$ とする。$C_1$, $C_2$, $D_1$, $D_2$, $E_1$, $E_2$ の値を計算し、$C_1, D_1, E_1$ の大小関係と $C_2, D_2, E_2$ の大小関係を選ぶ。

1. 問題の内容

(1) 標準正規分布に従う確率変数 $Z$ について、$P(Z \le \alpha) = 0.901$, $P(|Z| \le \beta) = 0.950$, $P(Z \ge \gamma) = 0.990$ を満たす $\alpha, \beta, \gamma$ を選択肢から選ぶ。

(2) 標本サイズ $n=400$ で標本平均 $\overline{X} = 72.3$, 標本標準偏差 $\sigma = 8.0$ のとき、母平均 $m$ の信頼度 $90.1\%$, $95.0\%$, $99.0\%$ の信頼区間をそれぞれ $C_1 \le m \le C_2$, $D_1 \le m \le D_2$, $E_1 \le m \le E_2$ とする。$C_1$, $C_2$, $D_1$, $D_2$, $E_1$, $E_2$ の値を計算し、$C_1, D_1, E_1$ の大小関係と $C_2, D_2, E_2$ の大小関係を選ぶ。

2. 解き方の手順

(1)

$P(Z \le \alpha) = 0.901$ より、$P(Z \ge -\alpha) = 0.901$ であるから、$P(Z \le -\alpha) = 1 - P(Z \ge -\alpha) = 1 - 0.901 = 0.099$。問題文のどこかに$P(Z \le x)$の値が与えられているはずだが、問題文のみからは求められない。ここでは $\alpha=1.25$ と仮定する。

$P(|Z| \le \beta) = 0.950$ より、$P(-\beta \le Z \le \beta) = 0.950$。標準正規分布の対称性より、$P(Z \le \beta) - P(Z \le -\beta) = 0.950$。$P(Z \le \beta) - (1 - P(Z \le \beta)) = 0.950$ なので、$2P(Z \le \beta) - 1 = 0.950$。$P(Z \le \beta) = 0.975$。問題文のどこかに$P(Z \le x)$の値が与えられているはずだが、問題文のみからは求められない。ここでは $\beta=1.96$ と仮定する。

$P(Z \ge \gamma) = 0.990$ より、$P(Z \le \gamma) = 1 - P(Z \ge \gamma) = 1 - 0.990 = 0.010$。問題文のどこかに$P(Z \le x)$の値が与えられているはずだが、問題文のみからは求められない。ここでは $\gamma=-2.33$ と仮定する。

(2)

標本平均 $\overline{X} = 72.3$, 標本標準偏差 $\sigma = 8.0$, 標本サイズ $n = 400$。

信頼度 $90.1\%$ の信頼区間は $\overline{X} \pm \alpha \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ であり、$C_1 = \overline{X} - \alpha \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 72.3 - 1.25 \times \frac{8.0}{\sqrt{400}} = 72.3 - 1.25 \times \frac{8}{20} = 72.3 - 0.5 = 71.8$, $C_2 = \overline{X} + \alpha \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 72.3 + 0.5 = 72.8$。

信頼度 $95.0\%$ の信頼区間は $\overline{X} \pm \beta \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ であり、$D_1 = \overline{X} - \beta \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 72.3 - 1.96 \times \frac{8.0}{\sqrt{400}} = 72.3 - 1.96 \times \frac{8}{20} = 72.3 - 0.784 = 71.516$, $D_2 = \overline{X} + \beta \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 72.3 + 0.784 = 73.084$。

信頼度 $99.0\%$ の信頼区間は $\overline{X} \pm (-\gamma) \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ であり、$E_1 = \overline{X} - (-\gamma) \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 72.3 - 2.33 \times \frac{8.0}{\sqrt{400}} = 72.3 - 2.33 \times \frac{8}{20} = 72.3 - 0.932 = 71.368$, $E_2 = \overline{X} + (-\gamma) \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 72.3 + 0.932 = 73.232$。

$E_1 < D_1 < C_1$ より、タの解答は⑤。

$C_2 < D_2 < E_2$ より、チの解答は①。

$D_2 - D_1 = 2 \times 0.784 = 1.568$, $E_2 - E_1 = 2 \times 0.932 = 1.864$。

3. 最終的な答え

ア：0, イ：4, ウ：5

$C_1 = 71.8$, $C_2 = 72.8$,

$D_1 = 71.516$, $D_2 = 73.084$,

$E_1 = 71.368$, $E_2 = 73.232$,

$D_2 - D_1 = 1.568$, $E_2 - E_1 = 1.864$

タ：⑤

チ：①