袋の中に白玉3個、赤玉5個、青玉4個が入っている。この袋から4個の玉を同時に取り出すとき、次の確率を求めよ。 (1) 3個以上赤玉が出る確率 (2) 取り出した玉がどの色の玉も含む確率 (3) 取り出した玉の色が2色である確率

1. 問題の内容

袋の中に白玉3個、赤玉5個、青玉4個が入っている。この袋から4個の玉を同時に取り出すとき、次の確率を求めよ。

(1) 3個以上赤玉が出る確率

(2) 取り出した玉がどの色の玉も含む確率

(3) 取り出した玉の色が2色である確率

2. 解き方の手順

(1) 3個以上赤玉が出る確率

全事象は、12個から4個を選ぶ組み合わせなので、$_{12}C_4 = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495$通り。

3個以上赤玉が出るのは、

(i) 赤玉3個、残り1個

(ii) 赤玉4個

(i) 赤玉3個、残り1個の場合：

赤玉3個の選び方は$_{5}C_3 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通り。

残り1個は赤玉以外から選ぶので、7個から1個選ぶ$_{7}C_1 = 7$通り。

よって、 $10 \times 7 = 70$通り。

(ii) 赤玉4個の場合：

赤玉4個の選び方は$_{5}C_4 = 5$通り。

したがって、3個以上赤玉が出る場合は$70 + 5 = 75$通り。

求める確率は$\frac{75}{495} = \frac{15 \times 5}{15 \times 33} = \frac{5}{33}$。

(2) 取り出した玉がどの色の玉も含む確率

どの色の玉も含むためには、白、赤、青が少なくとも1個ずつ必要。残りの1個はどれでも良い。

色の内訳は(1,1,1,1)となる。

白玉1個、赤玉1個、青玉1個、残り1個を選ぶ。

白玉1個の選び方は$_{3}C_1 = 3$通り。

赤玉1個の選び方は$_{5}C_1 = 5$通り。

青玉1個の選び方は$_{4}C_1 = 4$通り。

残り1個は、残りの9個から選ぶので$_{9}C_1 = 9$通り。

よって、$3 \times 5 \times 4 \times 9 = 540$通り。

しかし、残り１個を選ぶ際に、既に選んだ色を選んでしまう可能性がある。

この場合はどの色の玉も含むという条件に違反する。

正しい計算方法:

白玉1個、赤玉1個、青玉1個を選んだ後、残り1個の選び方は、すでに選んだ3個以外から選ぶ必要がある。

つまり、色の内訳は(1,1,1,1)となる。

白玉1個、赤玉1個、青玉1個の選び方は $3 \times 5 \times 4 = 60$通り。

残り1個はどの玉でも良いので、残りの9個から選ぶ。

ここで注意しなければならないのは、3色全てを含む確率を求めたいので、

最後に選ぶ1個は、すでに選んだ色と同じ色でも良い。

しかし、一度3色を選んだ後は、残りの玉はどれでも良い。

4個すべて取り出す組み合わせは$_{12}C_4 = 495$通り。

3色全てを含むのは、白、赤、青が少なくとも1個ずつ必要。

12個から4個を取り出す組み合わせの場合、全ての色を含む組み合わせは存在しない。

4個取り出すとき、少なくとも1色は選ばれない。

白、赤、青の組み合わせの数を数える。

取り出した玉がどの色の玉も含むということは、1個ずつ白、赤、青を取り、残りの1個はどれでも良い。

残り１個の選び方は、

(i) 白玉の場合は2個

(ii) 赤玉の場合は4個

(iii) 青玉の場合は3個

$3 \times 5 \times 4 = 60$通り。

残り１個は既に選んだ以外の玉から選ぶ必要があるため、

$3 \times 5 \times 4 \times (3 - 1 + 5 - 1 + 4 - 1) = 60 \times 9 = 540$とはならない。

例えば、白、赤、青を各1個選んだ場合、残りの選択肢は白2個、赤4個、青3個の合計9個。

従って、残り１個は9通り。

$3 \times 5 \times 4 \times (3 + 5 + 4 - 3) = 60 \times 9 = 540$

どの色も含む確率は0

(3) 取り出した玉の色が2色である確率

全事象は495通り。

2色の場合を考える。

(i) 白と赤

(ii) 白と青

(iii) 赤と青

(i) 白と赤の場合

白と赤の組み合わせを考える。

白玉3個と赤玉5個の合計8個から4個選ぶ。

$_{8}C_4 = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$

ここから、白のみ、赤のみの場合を除く。

白のみは1通り、赤のみは$_{5}C_4 = 5$通り。

よって$70 - 1 - 5 = 64$通り。

(ii) 白と青の場合

白玉3個と青玉4個の合計7個から4個選ぶ。

$_{7}C_4 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

白のみは1通り、青のみは1通り。

よって$35 - 1 - 1 = 33$通り。

(iii) 赤と青の場合

赤玉5個と青玉4個の合計9個から4個選ぶ。

$_{9}C_4 = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$

赤のみは$_{5}C_4 = 5$通り、青のみは1通り。

よって$126 - 5 - 1 = 120$通り。

合計は$64 + 33 + 120 = 217$通り。

求める確率は$\frac{217}{495}$。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5}{33}$

(2) 0

(3) $\frac{217}{495}$