3個のサイコロを同時に投げるとき、次の事象が起こる確率を求めます。 (1) 目の積が150になる確率 (2) 目の積が18になる確率 (3) 目の積が135以上になる確率

1. 問題の内容

3個のサイコロを同時に投げるとき、次の事象が起こる確率を求めます。

(1) 目の積が150になる確率

(2) 目の積が18になる確率

(3) 目の積が135以上になる確率

2. 解き方の手順

(1) 目の積が150になる場合

150を素因数分解すると $150 = 2 \times 3 \times 5^2$ となります。

3つのサイコロの目の組み合わせで積が150になるのは、(5, 5, 6)と(3, 5, 10)ですが、サイコロの目は1から6なので(3, 5, 10)はあり得ません。

(5, 5, 6)の目の出方は、3つのサイコロの並び順を考えると $3!/2! = 3$ 通りです。

3つのサイコロの目の出方は全部で $6^3 = 216$ 通りなので、求める確率は

$3 / 216 = 1 / 72$ です。

(2) 目の積が18になる場合

18を素因数分解すると $18 = 2 \times 3^2$ となります。

3つのサイコロの目の組み合わせで積が18になるのは、(1, 3, 6), (2, 3, 3) の2通りです。

(1, 3, 6)の目の出方は $3! = 6$ 通りです。

(2, 3, 3)の目の出方は $3!/2! = 3$ 通りです。

したがって、目の積が18になるのは $6 + 3 = 9$ 通りです。

求める確率は $9 / 216 = 1 / 24$ です。

(3) 目の積が135以上になる場合

目の積が135以上になるのは、目の積が135, 136, 137, ..., 216になる場合です。

まず、目の積が最大になるのは(6, 6, 6)で、その積は216です。

目の積が135になる組み合わせを考えます。$135 = 3^3 \times 5 = 3 \times 3 \times 15$ より、(3, 5, 9)はあり得ませんが、$135 = 3 \times 5 \times 3 \times 1 = 45 = 5 \times 3^3$となります。$5 \times 3 \times 3 \times 1 = 135$, ($3, 5, 9$)はあり得ない。

積が135になるのは(3, 5, 9)ですが、サイコロの目は6までなのであり得ません。

積が135以上になる組み合わせを探します。

- (4, 6, 6)の積は144

- (5, 5, 6)の積は150

- (5, 6, 6)の積は180

- (6, 6, 6)の積は216

これらの並び方を考えると

- (4, 6, 6)は3通り

- (5, 5, 6)は3通り

- (5, 6, 6)は3通り

- (6, 6, 6)は1通り

よって、合計で $3+3+3+1=10$通りです。

求める確率は $10 / 216 = 5 / 108$ です。

3. 最終的な答え

(1) 目の積が150になる確率: $\frac{1}{72}$

(2) 目の積が18になる確率: $\frac{1}{24}$

(3) 目の積が135以上になる確率: $\frac{5}{108}$