次の式を因数分解せよ。 (1) $8x^3 + y^3$ (2) $27x^3 - 64$ (3) $x^3 + 27$ (4) $8x^3 + 27y^3$

1. 問題の内容

次の式を因数分解せよ。

(1) $8x^3 + y^3$

(2) $27x^3 - 64$

(3) $x^3 + 27$

(4) $8x^3 + 27y^3$

2. 解き方の手順

(1) $8x^3 + y^3$

これは、$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ の公式を利用します。

$8x^3 = (2x)^3$ なので、$a = 2x$、$b = y$ となります。

したがって、

$8x^3 + y^3 = (2x+y)((2x)^2 - (2x)(y) + y^2) = (2x+y)(4x^2 - 2xy + y^2)$

(2) $27x^3 - 64$

これは、$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ の公式を利用します。

$27x^3 = (3x)^3$、$64 = 4^3$ なので、$a = 3x$、$b = 4$ となります。

したがって、

$27x^3 - 64 = (3x-4)((3x)^2 + (3x)(4) + 4^2) = (3x-4)(9x^2 + 12x + 16)$

(3) $x^3 + 27$

これは、$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ の公式を利用します。

$27 = 3^3$ なので、$a = x$、$b = 3$ となります。

したがって、

$x^3 + 27 = (x+3)(x^2 - 3x + 9)$

(4) $8x^3 + 27y^3$

これは、$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ の公式を利用します。

$8x^3 = (2x)^3$、$27y^3 = (3y)^3$ なので、$a = 2x$、$b = 3y$ となります。

したがって、

$8x^3 + 27y^3 = (2x+3y)((2x)^2 - (2x)(3y) + (3y)^2) = (2x+3y)(4x^2 - 6xy + 9y^2)$

3. 最終的な答え

(1) $(2x+y)(4x^2 - 2xy + y^2)$

(2) $(3x-4)(9x^2 + 12x + 16)$

(3) $(x+3)(x^2 - 3x + 9)$

(4) $(2x+3y)(4x^2 - 6xy + 9y^2)$