画像には、因数分解の問題が6問あります。 (7) $x^3 + 64y^3$ (8) $27x^3 - 125y^3$ (9) $ax^3 - 27ay^3$ (10) $x^3 + y^3z^3$ (11) $(x+y)^3 + 8$ (12) $(x+y)^3 - 1$

分かりました。画像の数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

画像には、因数分解の問題が6問あります。

(7) $x^3 + 64y^3$

(8) $27x^3 - 125y^3$

(9) $ax^3 - 27ay^3$

(10) $x^3 + y^3z^3$

(11) $(x+y)^3 + 8$

(12) $(x+y)^3 - 1$

2. 解き方の手順

(7) $x^3 + 64y^3$

これは $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ の公式を利用します。

$x^3 + (4y)^3$ と考えます。

$a = x$, $b = 4y$ を公式に代入します。

$(x + 4y)(x^2 - x(4y) + (4y)^2) = (x + 4y)(x^2 - 4xy + 16y^2)$

(8) $27x^3 - 125y^3$

これは $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ の公式を利用します。

$(3x)^3 - (5y)^3$ と考えます。

$a = 3x$, $b = 5y$ を公式に代入します。

$(3x - 5y)((3x)^2 + (3x)(5y) + (5y)^2) = (3x - 5y)(9x^2 + 15xy + 25y^2)$

(9) $ax^3 - 27ay^3$

まず $a$ でくくります。

$a(x^3 - 27y^3)$

次に、$x^3 - 27y^3$ を $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ の公式を利用して因数分解します。

$x^3 - (3y)^3$ と考えます。

$a = x$, $b = 3y$ を公式に代入します。

$a(x - 3y)(x^2 + x(3y) + (3y)^2) = a(x - 3y)(x^2 + 3xy + 9y^2)$

(10) $x^3 + y^3z^3$

これは $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ の公式を利用します。

$x^3 + (yz)^3$ と考えます。

$a = x$, $b = yz$ を公式に代入します。

$(x + yz)(x^2 - x(yz) + (yz)^2) = (x + yz)(x^2 - xyz + y^2z^2)$

(11) $(x+y)^3 + 8$

これは $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ の公式を利用します。

$(x+y)^3 + 2^3$ と考えます。

$a = x+y$, $b = 2$ を公式に代入します。

$((x+y) + 2)((x+y)^2 - (x+y)(2) + 2^2) = (x+y+2)((x^2 + 2xy + y^2) - (2x + 2y) + 4) = (x+y+2)(x^2 + 2xy + y^2 - 2x - 2y + 4)$

(12) $(x+y)^3 - 1$

これは $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ の公式を利用します。

$(x+y)^3 - 1^3$ と考えます。

$a = x+y$, $b = 1$ を公式に代入します。

$((x+y) - 1)((x+y)^2 + (x+y)(1) + 1^2) = (x+y-1)((x^2 + 2xy + y^2) + (x+y) + 1) = (x+y-1)(x^2 + 2xy + y^2 + x + y + 1)$

3. 最終的な答え

(7) $(x + 4y)(x^2 - 4xy + 16y^2)$

(8) $(3x - 5y)(9x^2 + 15xy + 25y^2)$

(9) $a(x - 3y)(x^2 + 3xy + 9y^2)$

(10) $(x + yz)(x^2 - xyz + y^2z^2)$

(11) $(x+y+2)(x^2 + 2xy + y^2 - 2x - 2y + 4)$

(12) $(x+y-1)(x^2 + 2xy + y^2 + x + y + 1)$