$x^3(y-z) + y^3(z-x) + z^3(x-y) = x^3y - x^3z + y^3z - y^3x + z^3x - z^3y$

## 問題の回答

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1. 問題の内容

与えられた3つの式を因数分解する問題です。今回は、(3)の式を因数分解します。

問題(3): $x^3(y-z) + y^3(z-x) + z^3(x-y)$

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2. 解き方の手順

1. 式を展開します。

$x^3(y-z) + y^3(z-x) + z^3(x-y) = x^3y - x^3z + y^3z - y^3x + z^3x - z^3y$

2. 式を整理します。

$x^3y - x^3z + y^3z - y^3x + z^3x - z^3y = x^3y - y^3x - x^3z + z^3x + y^3z - z^3y$

3. $x$について整理します。

$x^3(y - z) - x(y^3 - z^3) + (y^3z - z^3y)$

4. $x^3(y - z) - x(y - z)(y^2 + yz + z^2) + yz(y^2 - z^2)$

5. $x^3(y - z) - x(y - z)(y^2 + yz + z^2) + yz(y - z)(y + z)$

6. $(y - z)[x^3 - x(y^2 + yz + z^2) + yz(y + z)]$

7. $(y - z)[x^3 - xy^2 - xyz - xz^2 + y^2z + yz^2]$

8. $(y - z)[x^3 - xy^2 - xz^2 + y^2z + xz^2 - xyz - yz^2 + yz^2]$

$=(y - z)[x^3 - xy^2 + y^2z- xz^2 + xz^2 - xyz - yz^2 + yz^2]$

9. $(y - z)[x^3 - x y^2 - xz^2 +y^2 z + yz^2 - xyz]$

$=(y - z)[(x^3 - x y^2) -xz^2+y^2z+yz^2 - xyz]$

$=(y - z)[x(x^2-y^2) -z(xz-y^2 -yz)]$

$=(y - z)[x(x-y)(x+y) -z(x-y)(x+y) -xz(x-y)]$

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0. 上記の変形は誤りなので、式を $x$, $y$, $z$ に関して対称性があることに注目し、因数に $(x - y)$ を持つと仮定します。

$x^3(y-z) + y^3(z-x) + z^3(x-y)$に、$x = y$を代入すると、

$y^3(y-z) + y^3(z-y) + z^3(y-y) = y^4 - y^3z + y^3z - y^4 + 0 = 0$

よって、$x - y$を因数に持ちます。同様に$y - z$, $z - x$も因数に持つことがわかります。

したがって、

$x^3(y - z) + y^3(z - x) + z^3(x - y) = k(x - y)(y - z)(z - x)$

（ただし、$k$は定数）とおくことができます。

左辺は3次の項を持つので、右辺も3次の項を持つように $k$ を決定します。

$x^3(y - z) + y^3(z - x) + z^3(x - y) = -(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)$

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1. 最終的な答えは以下になります。

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3. 最終的な答え

$-(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)$