与えられた式 $a^3 - 9a^2 + 27a - 27$ を因数分解してください。

## 問題13

1. 問題の内容

与えられた式 $a^3 - 9a^2 + 27a - 27$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

この式は $(a-3)^3$ を展開したものであることに気づきます。

二項定理または $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ を用いて展開を確認します。

$a=a$, $b=3$ とすると、$(a-3)^3 = a^3 - 3(a^2)(3) + 3(a)(3^2) - 3^3 = a^3 - 9a^2 + 27a - 27$ となり、与えられた式と一致します。

3. 最終的な答え

$(a-3)^3$

## 問題14

1. 問題の内容

与えられた式 $27a^6 + 26a^3b^3 - b^6$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

$A = a^3$, $B = b^3$ とおくと、与式は $27A^2 + 26AB - B^2$ となります。

これを因数分解することを考えます。

$27A^2 + 26AB - B^2 = (27A - B)(A + B)$ と因数分解できます。

$A = a^3$, $B = b^3$ を代入すると、$(27a^3 - b^3)(a^3 + b^3)$ となります。

さらに因数分解できるかどうか検討します。

$27a^3 - b^3 = (3a)^3 - b^3 = (3a - b)(9a^2 + 3ab + b^2)$

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

したがって、$(27a^6 + 26a^3b^3 - b^6) = (3a - b)(9a^2 + 3ab + b^2)(a + b)(a^2 - ab + b^2)$ となります。

3. 最終的な答え

$(3a - b)(9a^2 + 3ab + b^2)(a + b)(a^2 - ab + b^2)$

## 問題15

1. 問題の内容

与えられた式 $a^3 + 6a^2b + 18ab^2 + 27b^3$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

この式は $(a + 3b)^3$ に近い形をしています。

$(a+3b)^3 = a^3 + 3(a^2)(3b) + 3(a)(3b)^2 + (3b)^3 = a^3 + 9a^2b + 27ab^2 + 27b^3$

与式と見比べると、$6a^2b$ と $18ab^2$ の係数が異なるため、$(a+3b)^3$ とは一致しません。

しかし、式全体を見てみると、立方の公式 $(a+b)^3$ の形を意識するとうまくいきます。

与えられた式を $(a)^3 + 3*(a)^2(2b) + 3(a)(2b)^2 + (2b)^3$の形にする事を考えます。

式は $a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + 8b^3$となります。

これと与えられた式 $a^3 + 6a^2b + 18ab^2 + 27b^3$との差は、$6ab^2 + 19b^3$ となります。

したがって、与えられた式は、単純な公式では因数分解できません。

3. 最終的な答え

与えられた式は $(a + 3b)^3 - 3a^2b - 9ab^2$です。これ以上簡単な形に因数分解できないので、$a^3 + 6a^2b + 18ab^2 + 27b^3$が答えです。

## 問題16

1. 問題の内容

与えられた式 $(x-4)(x-2)(x+1)(x+3) + 24$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

$(x-4)(x+3)$ と $(x-2)(x+1)$ をそれぞれ展開すると、

$(x^2 - x - 12)(x^2 - x - 2) + 24$ となります。

ここで、$X = x^2 - x$ と置くと、$(X - 12)(X - 2) + 24 = X^2 - 14X + 24 + 24 = X^2 - 14X + 48$ となります。

これは $(X - 6)(X - 8)$ と因数分解できます。

$X = x^2 - x$ を代入すると、$(x^2 - x - 6)(x^2 - x - 8)$ となります。

$(x^2 - x - 6) = (x - 3)(x + 2)$ と因数分解できます。

したがって、与式は $(x - 3)(x + 2)(x^2 - x - 8)$ となります。

3. 最終的な答え

$(x - 3)(x + 2)(x^2 - x - 8)$

## 問題17

1. 問題の内容

与えられた式 $(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

$x = a-b$, $y = b-c$, $z = c-a$ とおくと、与式は $x^3 + y^3 + z^3$ となります。

ここで、$x + y + z = (a-b) + (b-c) + (c-a) = a - b + b - c + c - a = 0$ であることに注目します。

$x + y + z = 0$ のとき、$x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$ が成立します。

したがって、与式は $3(a-b)(b-c)(c-a)$ となります。

3. 最終的な答え

$3(a-b)(b-c)(c-a)$