イベント会場に職員8人とアルバイト4人の合計12人のスタッフがいる。4人のスタッフが1グループとなって受付業務を行う。各グループには必ず1人以上の職員が含まれていなければならない。1グループが1日ずつ受付業務を行うとき、異なるグループで受付業務を行うことができるのは最大何日間か？ただし、グループのスタッフ4人のうち少なくとも1人が異なれば、異なるグループとして数える。

1. 問題の内容

イベント会場に職員8人とアルバイト4人の合計12人のスタッフがいる。4人のスタッフが1グループとなって受付業務を行う。各グループには必ず1人以上の職員が含まれていなければならない。1グループが1日ずつ受付業務を行うとき、異なるグループで受付業務を行うことができるのは最大何日間か？ただし、グループのスタッフ4人のうち少なくとも1人が異なれば、異なるグループとして数える。

2. 解き方の手順

まず、4人のグループに必ず1人以上の職員が含まれる場合の数を計算する。

これは、すべての組み合わせから、職員が一人も含まれない組み合わせ（つまり全員アルバイト）の場合の数を引けばよい。

すべての組み合わせは、12人から4人を選ぶ組み合わせなので、$_{12}C_4$ で表される。

全員アルバイトの組み合わせは、アルバイト4人から4人を選ぶ組み合わせなので、$_{4}C_4$ で表される。

したがって、少なくとも1人の職員を含む4人のグループの組み合わせの数は、$_{12}C_4 - _{4}C_4$ で計算できる。

$_{12}C_4 = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4!8!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495$

$_{4}C_4 = \frac{4!}{4!(4-4)!} = \frac{4!}{4!0!} = 1$

したがって、少なくとも1人の職員を含む4人のグループの組み合わせの数は、

$495 - 1 = 494$ となる。

3. 最終的な答え

494日間